Uma partícula movendo-se no plano, parte da origem na condição de repouso e possui aceleração
. Para esta situação determine:
(a) os vetores posição e velocidade;
(b) o vetor aceleração, o raio de curvatura e a direção do movimento em graus quando
;
(a) os vetores posição e velocidade;
(b) o vetor aceleração, o raio de curvatura e a direção do movimento em graus quando
Passo 1
O enunciado diz: uma partícula parte da origem com velocidade zero em
e tem aceleração
Pede-se:
(a) os vetores posição e velocidade
para todo
;
(b) avaliando em : o vetor aceleração
, o raio de curvatura e a direção do movimento (em graus).
(a) os vetores posição
(b) avaliando em
Informações relevantes dadas:
condições iniciais:
(origem) e
(repouso).
Passo 2
Conceito e método para obter
:
é a derivada da velocidade, isto é
. Para achar
integramos componente a componente e usamos as condições iniciais para determinar constantes de integração.
Integramos a componente
:
Usando
temos
. Logo
Integramos a componente
:
Usando
. Logo
Portanto o vetor velocidade é
Passo 3
Conceito e método para obter
: velocidade é derivada da posição,
. Integramos
componente a componente e aplicamos
.
Integramos a componente
:
Como
, então
. Logo
.
Integramos a componente
:
Como
, então
. Logo
.
Portanto o vetor posição é
Passo 4
Avaliação em
da aceleração: usamos a expressão dada diretamente.
Substituindo
:
Passo 5
Avaliação em
da velocidade (direção do movimento depende de
):
Usamos a expressão obtida no Passo 2:
Usamos a expressão obtida no Passo 2:
Substituindo
:
Passo 6
Cálculo do raio de curvatura: teoria e fórmula. Para uma trajetória planar parametrizada por tempo, a curvatura
é dada por
onde
é o módulo do produto vetorial (em 2D isso reduz ao determinante
). O raio de curvatura é
. Explicando as grandezas:
é a velocidade (m/s),
a aceleração (m/s^2),
seu módulo (m/s), então
tem unidade de metros.
Usamos os valores em
:
e
.
Calculamos o determinante (produto vetorial z):
O módulo é
.
Calculamos
:
Logo
Então o raio de curvatura é
Passo 7
Cálculo da direção do movimento (ângulo) em
: a direção do movimento é a direção do vetor velocidade
. O ângulo
medido a partir do eixo positivo
satisfaz
Cálculo detalhado: a tangente do ângulo relativo ao eixo
seria
. Isso sozinho dá um ângulo de
, que é o ângulo no intervalo
— mas como
e
a velocidade está no quadrante II. Portanto o ângulo medido a partir do eixo positivo
é
Usando
obtemos diretamente
.
Resposta
(a)
(b)