Uma partícula movendo-se no plano, parte da origem na condição de repouso e possui aceleração \vec{a}=-2,5 t \hat{i}+4,5 t^{2} \hat{j}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]. Para esta situação determine:
(a) os vetores posição e velocidade;
(b) o vetor aceleração, o raio de curvatura e a direção do movimento em graus quando t=2 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado diz: uma partícula parte da origem com velocidade zero em t=0 e tem aceleração
\vec{a}(t) = -2,5\,t\,\hat{i} + 4,5\,t^{2}\,\hat{j}\quad[\mathrm{m/s^{2}}].
Pede-se:
(a) os vetores posição \vec{r}(t) e velocidade \vec{v}(t) para todo t;
(b) avaliando em t=2\\ \mathrm{s}: o vetor aceleração \vec{a}, o raio de curvatura e a direção do movimento (em graus).
Informações relevantes dadas:
\vec{a}(t) = -2,5\,t\,\hat{i} + 4,5\,t^{2}\,\hat{j},
condições iniciais: \vec{r}(0)=\vec{0} (origem) e \vec{v}(0)=\vec{0} (repouso).

Passo 2

Conceito e método para obter \vec{v}(t): \vec{a}(t) é a derivada da velocidade, isto é \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}. Para achar \vec{v}(t) integramos componente a componente e usamos as condições iniciais para determinar constantes de integração.
Integramos a componente x:
\frac{dv_x}{dt} = -2,5\,t \quad\Longrightarrow\quad v_x(t)=\int -2,5\,t\,dt = -2,5\cdot\frac{t^{2}}{2}+C_x = -\frac{5}{4}t^{2}+C_x.
Usando \vec{v}(0)=\vec{0} temos v_x(0)=0\Rightarrow C_x=0. Logo
v_x(t) = -\frac{5}{4}t^{2}.
Integramos a componente y:
\frac{dv_y}{dt} = 4,5\,t^{2} \quad\Longrightarrow\quad v_y(t)=\int 4,5\,t^{2}\,dt = 4,5\cdot\frac{t^{3}}{3}+C_y = \frac{3}{2}t^{3}+C_y.
Usando v_y(0)=0\Rightarrow C_y=0. Logo
v_y(t) = \frac{3}{2}t^{3}.
Portanto o vetor velocidade é
\vec{v}(t)= -\frac{5}{4}t^{2}\,\hat{i} + \frac{3}{2}t^{3}\,\hat{j}\quad[\mathrm{m/s}].

Passo 3

Conceito e método para obter \vec{r}(t): velocidade é derivada da posição, \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Integramos \vec{v}(t) componente a componente e aplicamos \vec{r}(0)=\vec{0}.
Integramos a componente x:
r_x(t)=\int v_x(t)\,dt = \int -\frac{5}{4}t^{2}\,dt = -\frac{5}{4}\cdot\frac{t^{3}}{3}+C_{r_x} = -\frac{5}{12}t^{3}+C_{r_x}.
Como r_x(0)=0, então C_{r_x}=0. Logo r_x(t) = -\dfrac{5}{12}t^{3}.
Integramos a componente y:
r_y(t)=\int v_y(t)\,dt = \int \frac{3}{2}t^{3}\,dt = \frac{3}{2}\cdot\frac{t^{4}}{4}+C_{r_y} = \frac{3}{8}t^{4}+C_{r_y}.
Como r_y(0)=0, então C_{r_y}=0. Logo r_y(t) = \dfrac{3}{8}t^{4}.
Portanto o vetor posição é
\vec{r}(t)= -\frac{5}{12}t^{3}\,\hat{i} + \frac{3}{8}t^{4}\,\hat{j}\quad[\mathrm{m}].

Passo 4

Avaliação em t=2\\ \mathrm{s} da aceleração: usamos a expressão dada diretamente.
\vec{a}(t) = -2,5\,t\,\hat{i} + 4,5\,t^{2}\,\hat{j}.
Substituindo t=2:
\vec{a}(2) = -2,5\cdot 2\,\hat{i} + 4,5\cdot 2^{2}\,\hat{j} = -5\,\hat{i} + 18\,\hat{j}\quad[\mathrm{m/s^{2}}].

Passo 5

Avaliação em t=2\\ \mathrm{s} da velocidade (direção do movimento depende de \vec{v}):
Usamos a expressão obtida no Passo 2:
\vec{v}(t)= -\frac{5}{4}t^{2}\,\hat{i} + \frac{3}{2}t^{3}\,\hat{j}.
Substituindo t=2:
\vec{v}(2) = -\frac{5}{4}\cdot 2^{2}\,\hat{i} + \frac{3}{2}\cdot 2^{3}\,\hat{j} = -5\,\hat{i} + 12\,\hat{j}\quad[\mathrm{m/s}].

Passo 6

Cálculo do raio de curvatura: teoria e fórmula. Para uma trajetória planar parametrizada por tempo, a curvatura \kappa é dada por
\kappa = \frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|^{3}},
onde |\vec{v}\times\vec{a}| é o módulo do produto vetorial (em 2D isso reduz ao determinante v_x a_y - v_y a_x). O raio de curvatura é \rho=\dfrac{1}{\kappa}=\dfrac{|\vec{v}|^{3}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}. Explicando as grandezas: \vec{v} é a velocidade (m/s), \vec{a} a aceleração (m/s^2), |\vec{v}| seu módulo (m/s), então \rho tem unidade de metros.
Usamos os valores em t=2: \vec{v}(2)=(-5,\,12) e \vec{a}(2)=(-5,\,18).
Calculamos o determinante (produto vetorial z):
v_x a_y - v_y a_x = (-5)\cdot 18 - 12\cdot(-5) = -90 + 60 = -30.
O módulo é |\vec{v}\times\vec{a}| = 30.
Calculamos |\vec{v}|:
|\vec{v}| = \sqrt{(-5)^{2}+12^{2}} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13\\ \mathrm{m/s}.
Logo
|\vec{v}|^{3} = 13^{3} = 2197.
Então o raio de curvatura é
\rho = \frac{2197}{30}\\ \mathrm{m} \approx 73,233\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo da direção do movimento (ângulo) em t=2: a direção do movimento é a direção do vetor velocidade \vec{v}(2)=(-5,\,12). O ângulo \theta medido a partir do eixo positivo x satisfaz
\theta = \operatorname{atan2}(v_y,v_x).
Cálculo detalhado: a tangente do ângulo relativo ao eixo x seria \tan\theta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{12}{-5} = -2,4. Isso sozinho dá um ângulo de \arctan(-2,4)\approx -67,38^\circ, que é o ângulo no intervalo (-90^\circ,90^\circ) — mas como v_x<0 e v_y>0 a velocidade está no quadrante II. Portanto o ângulo medido a partir do eixo positivo x é
\theta = 180^\circ - 67,380\ldots^\circ \approx 112,62^\circ.
Usando \operatorname{atan2}(12,-5) obtemos diretamente \theta \approx 112,62^\circ.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{r}(t)= -\frac{5}{12}t^{3}\,\hat{i} + \frac{3}{8}t^{4}\,\hat{j}\quad[\mathrm{m}]
\displaystyle \vec{v}(t)= -\frac{5}{4}t^{2}\,\hat{i} + \frac{3}{2}t^{3}\,\hat{j}\quad[\mathrm{m/s}]
(b) \displaystyle \vec{a}(2) = -5\,\hat{i} + 18\,\hat{j}\quad[\mathrm{m/s^{2}}]
\displaystyle \rho(2)=\frac{2197}{30}\\ \mathrm{m}\approx 73,233\\ \mathrm{m}
\displaystyle \text{Direção em }t=2:\\ \theta\approx 112,62^\circçã

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