(Energia em dielétricos): No caso da esfera uniformemente polarizada (exemplo resolvido) de raio R e polarização \vec{P}), calcule:
a energia eletrostática pela densidade de energia do campo, isto é,
W=\int \frac{\epsilon_{0}}{2} E^{2} d^{3} r

Passo 1

O enunciado dá: uma esfera de raio R com polarização uniforme \vec{P}. Pede-se calcular a energia eletrostática usando a densidade de energia do campo,
W=\int \frac{\epsilon_{0}}{2} E^{2}\,d^{3}r.
Informações relevantes listadas:
  • A esfera tem polarização uniforme \vec{P} (vetor constante dentro do volume).
  • O raio da esfera é R.
  • Queremos a energia total integrando a densidade \frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2} sobre todo o espaço.
    Não há figura anexa; toda a informação necessária está no enunciado.

Passo 2

A estratégia natural é dividir a integral em duas regiões: interior da esfera ( r<R) e exterior ( r>R). Primeiro precisamos conhecer o campo elétrico nas duas regiões.
Propriedades físicas importantes (explicando por que elas valem):
  • Para polarização uniforme \vec{P} temos densidade de carga ligada volumétrica \rho_{b}=-\nabla\cdot\vec{P}=0 (porque \vec{P} é constante).
  • Existe carga ligada de superfície \sigma_{b}=\vec{P}\cdot\hat{n}. Para uma esfera com eixo de polarização, \sigma_{b}=P\cos\theta onde \theta é o ângulo entre \vec{P} e a normal \hat{n}.
  • O campo resultante é bem conhecido: dentro da esfera o campo é uniforme e vale
\vec{E}_{\text{in}} = -\frac{\vec{P}}{3\epsilon_{0}}.
Explicação curta: a superfície carregada com densidade \sigma_b cria um campo uniforme interno dirigido contra \vec{P}; a constante 1/3 vem da resolução do problema de uma esfera uniformemente polarizada (pode-se obter por séries de multipolos ou aplicando condições de contorno).
  • Para r>R o campo elétrico é o mesmo de um dipolo pontual de momento dipolar total \vec{p} localizado na origem, com
\vec{p}=\int_{\text{volume}}\vec{P}\,dV = \vec{P}\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}.
Assim, fora da esfera
\vec{E}_{\text{out}}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{1}{r^{3}}\bigl[3(\vec{p}\cdot\hat{r})\hat{r}-\vec{p}\bigr],
onde \hat{r}=\vec{r}/r. Em coordenadas esféricas (com eixo em \vec{p}):
E_{r}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{2p\cos\theta}{r^{3}},\qquad E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{p\sin\theta}{r^{3}}.

Passo 3

Calcular a energia dentro da esfera ( r<R). O campo interno é constante em vetor, então a energia interna é simplesmente densidade vezes volume.
Magnitude do campo interno:
E_{\text{in}}=\left|\vec{E}_{\text{in}}\right|=\frac{P}{3\epsilon_{0}},
onde P=|\vec{P}|.
Energia interna:
W_{\text{in}}=\int_{r<R}\frac{\epsilon_{0}}{2}E_{\text{in}}^{2}\,d^{3}r =\frac{\epsilon_{0}}{2}\,E_{\text{in}}^{2}\cdot \text{Vol}_{\text{esfera}} =\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\frac{P}{3\epsilon_{0}}\right)^{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}.
Agora simplificamos passo a passo:
W_{\text{in}}=\frac{\epsilon_{0}}{2}\frac{P^{2}}{9\epsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3} =\frac{P^{2}}{18\epsilon_{0}}\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3} =\frac{4}{54}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}} =\frac{2}{27}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}}.

Passo 4

Calcular a energia fora da esfera ( r>R) usando o campo de dipolo. Primeiro escrevemos E^{2} em termos de componentes E_{r} e E_{\theta}:
E^{2}=E_{r}^{2}+E_{\theta}^{2} =\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\right)^{2}\frac{p^{2}}{r^{6}}\bigl(4\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) =\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\right)^{2}\frac{p^{2}}{r^{6}}\bigl(3\cos^{2}\theta+1\bigr).
A energia externa é
W_{\text{out}}=\int_{r>R}\frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2}\,d^{3}r =\int_{R}^{\infty}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\right)^{2}\frac{p^{2}}{r^{6}}\bigl(3\cos^{2}\theta+1\bigr)r^{2}\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Fazemos a integral angular primeiro. Use u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta e os limites u=-1 a 1:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{\pi}(3\cos^{2}\theta+1)\sin\theta\,d\theta =2\pi\int_{-1}^{1}(3u^{2}+1)\,du =2\pi\bigl[3\cdot\frac{2}{3}+2\bigr] =2\pi\cdot 4 =8\pi.
Substituindo de volta:
W_{\text{out}}=\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\right)^{2}p^{2}\,8\pi \int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{4}}\,dr.
Agora simplificamos as constantes:
\frac{\epsilon_{0}}{2}\left(\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\right)^{2}8\pi =\frac{\epsilon_{0}\,8\pi}{2\,(16\pi^{2}\epsilon_{0}^{2})} =\frac{8\pi}{32\pi^{2}\epsilon_{0}} =\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}.
A integral radial é
\int_{R}^{\infty}\frac{1}{r^{4}}\,dr=\left[-\frac{1}{3r^{3}}\right]_{R}^{\infty}=\frac{1}{3R^{3}}.
Portanto
W_{\text{out}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\,p^{2}\cdot\frac{1}{3R^{3}}=\frac{p^{2}}{12\pi\epsilon_{0}R^{3}}.
Lembrando que \vec{p}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\vec{P}, temos p=\frac{4}{3}\pi R^{3}P, então
p^{2}=\left(\frac{4}{3}\pi R^{3}\right)^{2}P^{2}=\frac{16}{9}\pi^{2}R^{6}P^{2}.
Substituindo:
W_{\text{out}}=\frac{1}{12\pi\epsilon_{0}R^{3}}\cdot\frac{16}{9}\pi^{2}R^{6}P^{2} =\frac{16}{108}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}} =\frac{4}{27}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}}.

Passo 5

Somamos as energias interna e externa:
W=W_{\text{in}}+W_{\text{out}} =\frac{2}{27}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}}+\frac{4}{27}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}} =\frac{6}{27}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}} =\frac{2}{9}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}}.
Comentário final rápido: o resultado é finito porque o campo singular do dipolo no centro está removido pelo volume ocupada pela esfera polarizada; a energia depende de P^{2} e do volume efetivo \pi R^{3}.

Resposta

W=\frac{2}{9}\frac{\pi R^{3}P^{2}}{\epsilon_{0}}.

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