(Energia em dielétricos): No caso da esfera uniformemente polarizada (exemplo resolvido) de raio R e polarização \vec{P}), calcule:
a energia eletrostática pela densidade de energia do campo, isto é,
W=\int \frac{\epsilon_{0}}{2} E^{2} d^{3} r
Passo 1
O enunciado dá: uma esfera de raio R com polarização uniforme \vec{P}. Pede-se calcular a energia eletrostática usando a densidade de energia do campo,
W=\int \frac{\epsilon_{0}}{2} E^{2}\,d^{3}r.
Informações relevantes listadas:
A esfera tem polarização uniforme \vec{P} (vetor constante dentro do volume).
O raio da esfera é R.
Queremos a energia total integrando a densidade \frac{\epsilon_{0}}{2}E^{2} sobre todo o espaço.
Não há figura anexa; toda a informação necessária está no enunciado.
Passo 2
A estratégia natural é dividir a integral em duas regiões: interior da esfera (r<R) e exterior (r>R). Primeiro precisamos conhecer o campo elétrico nas duas regiões.
Propriedades físicas importantes (explicando por que elas valem):
Para polarização uniforme \vec{P} temos densidade de carga ligada volumétrica \rho_{b}=-\nabla\cdot\vec{P}=0 (porque \vec{P} é constante).
Existe carga ligada de superfície \sigma_{b}=\vec{P}\cdot\hat{n}. Para uma esfera com eixo de polarização, \sigma_{b}=P\cos\theta onde \theta é o ângulo entre \vec{P} e a normal \hat{n}.
O campo resultante é bem conhecido: dentro da esfera o campo é uniforme e vale
Explicação curta: a superfície carregada com densidade \sigma_b cria um campo uniforme interno dirigido contra \vec{P}; a constante 1/3 vem da resolução do problema de uma esfera uniformemente polarizada (pode-se obter por séries de multipolos ou aplicando condições de contorno).
Para r>R o campo elétrico é o mesmo de um dipolo pontual de momento dipolar total \vec{p} localizado na origem, com
Comentário final rápido: o resultado é finito porque o campo singular do dipolo no centro está removido pelo volume ocupada pela esfera polarizada; a energia depende de P^{2} e do volume efetivo \pi R^{3}.