[10 pts] Mostre que \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \arctan \left(\frac{x}{a}\right)+C
Dica: note que x^{2}+a^{2}=\left(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)^{2} e utilize uma substituição trigonométrica adequada.

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
Informações dadas e suposições que vou usar: temos a integral \displaystyle\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx e assumirei que a\neq 0. Para simplificar a substituição trigonométrica é comum assumir a>0; se a<0 a fórmula final pode ser escrita em termos de |a| — eu explico isso na verificação final.

Passo 2

Intuição e escolha da substituição (aula rápida): note que a soma x^{2}+a^{2} lembra a identidade trigonométrica
1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Se conseguirmos escrever x^{2}+a^{2} como a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta, a integral simplifica muito. Para isso escolha a substituição
x = a\tan\theta.
Explique: aqui a ideia é parametrizar x por \theta de modo que \tan\theta=(x/a) e então 1+\tan^{2}\theta apareça naturalmente.

Passo 3

Calcule dx e transforme o denominador usando a substituição:
dx = a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
e
x^{2}+a^{2}=a^{2}\tan^{2}\theta+a^{2}=a^{2}\bigl(1+\tan^{2}\theta\bigr)=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Agora substituímos na integral original:
\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \int \frac{1}{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}\cdot \bigl(a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta\bigr).

Passo 4

Simplifique a expressão resultante:
\int \frac{1}{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}\cdot \bigl(a\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)\,d\theta = \int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta}{a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta = \int \frac{1}{a}\,d\theta = \frac{1}{a}\int d\theta.
Aqui usamos cancelamento direto de \operatorname{sec}^{2}\theta e simplificamos o fator em a.

Passo 5

Integre em \theta (passo básico): a integral de d\theta é \theta, logo
\frac{1}{a}\int d\theta = \frac{1}{a}\,\theta + C.

Passo 6

Volte para a variável x: pela substituição inicial \tan\theta = \dfrac{x}{a}, então \theta=\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right). Substituindo,
\frac{1}{a}\,\theta + C = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) + C.
Isso já dá a forma pedida.

Passo 7

Verificação rápida (cheque que funciona): derivando a resposta obtida
\frac{d}{dx}\!\left[\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)\right] = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+(x/a)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{a^{2}}}\cdot\frac{1}{a}
= \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{1}{\frac{a^{2}+x^{2}}{a^{2}}} = \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{a^{2}}{a^{2}+x^{2}} = \frac{1}{a^{2}+x^{2}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Observação sobre o sinal de a: se a<0 pode-se reescrever a constante 1/a como 1/|a| acompanhada de ajuste da constante de integração, mas a forma padrão mostrada vale tomando a>0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C

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