[10 pts] Mostre que
Dica: note que
e utilize uma substituição trigonométrica adequada.
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que
Informações dadas e suposições que vou usar: temos a integral
e assumirei que
. Para simplificar a substituição trigonométrica é comum assumir
; se
a fórmula final pode ser escrita em termos de
— eu explico isso na verificação final.
Passo 2
Intuição e escolha da substituição (aula rápida): note que a soma
lembra a identidade trigonométrica
Se conseguirmos escrever
como
, a integral simplifica muito. Para isso escolha a substituição
Explique: aqui a ideia é parametrizar
por
de modo que
e então
apareça naturalmente.
Passo 3
Calcule
e transforme o denominador usando a substituição:
e
Agora substituímos na integral original:
Passo 4
Simplifique a expressão resultante:
Aqui usamos cancelamento direto de
e simplificamos o fator em
.
Passo 5
Integre em
(passo básico): a integral de
é
, logo
Passo 6
Volte para a variável
: pela substituição inicial
, então
. Substituindo,
Isso já dá a forma pedida.
Passo 7
Verificação rápida (cheque que funciona): derivando a resposta obtida
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Observação sobre o sinal de
: se
pode-se reescrever a constante
como
acompanhada de ajuste da constante de integração, mas a forma padrão mostrada vale tomando
.