Considere a seguinte EDO de primeira ordem, com soluções com domínio nos números reais estritamente positivos:
4 x e^{y} \frac{d y}{d x}-9 e^{y}=-5 x^{2}
Q1. Faça a substituição necessária transformando essa EDO em uma EDO linear. Calcule o fator de integração, \mu(x), da EDO linear e - avalie no ponto x=4
Coloque sua resposta aqui: \mu(x=4)= \square
Q2. Obtenha o valor do coeficiente \boldsymbol{k} que define a solução única que passa pelo ponto P=(1,0). Coloque abaixo o valor desse coeficiente k.
Coloque sua resposta aqui: k= \square

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem, válida para x>0:
4 x e^{y} \frac{d y}{d x}-9 e^{y}=-5 x^{2}.
Perguntas pedidas:
  • Q1: Fazer a substituição que transforma a EDO em uma EDO linear; calcular o fator de integração \mu(x) da EDO linear e avaliar esse \mu em x=4. Preciso fornecer \mu(x=4)=\square.
  • Q2: Encontrar o valor do coeficiente k que define a solução única que passa por P=(1,0). Preciso fornecer k=\square.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação contém e^{y} multiplicando \dfrac{dy}{dx} e também no termo independente; isso sugere a substituição u=e^{y}.
  • Domínio x>0 garante que logaritmos e potências racionais de x estão bem definidas e que podemos dividir por x.
    A resolução real começa no próximo passo.

Passo 2

Por que escolher u=e^{y}? Explicação didática: quando aparece e^{y} multiplicando \dfrac{dy}{dx}, é útil lembrar que
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\frac{dy}{dx}.
Então se definirmos u(x)=e^{y(x)}, teremos \dfrac{du}{dx}=e^{y}\dfrac{dy}{dx}. Isso transforma o termo e^{y}\dfrac{dy}{dx} em \dfrac{du}{dx}, que normalmente simplifica a equação para uma linear em u. Vamos aplicar essa substituição.

Passo 3

Substituindo u=e^{y} na equação original:
4 x \underbrace{e^{y}\frac{dy}{dx}}_{=\frac{du}{dx}} - 9 e^{y} = -5 x^{2}.
Fica então
4 x \frac{du}{dx} - 9 u = -5 x^{2}.
Agora colocamos em forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, \dfrac{du}{dx}+p(x)u=g(x). Dividindo por 4x (lembrando x>0):
\frac{du}{dx} - \frac{9}{4x} u = -\frac{5}{4} x.
Portanto a EDO linear em u tem
p(x) = -\frac{9}{4x},\qquad g(x) = -\frac{5}{4}x.

Passo 4

Agora vamos calcular o fator integrante (fator de integração) \mu(x). Lembrando a teoria: para a EDO
\frac{du}{dx}+p(x)u=g(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Aqui p(x)=-\dfrac{9}{4x}. Então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{9}{4x}\,dx\right) =\exp\!\left(-\frac{9}{4}\int\frac{1}{x}\,dx\right) =\exp\!\left(-\frac{9}{4}\ln x\right).
Usando propriedades de expoente e logaritmo (e sabendo x>0):
\mu(x)=x^{-9/4}.

Passo 5

Avaliação do fator de integração no ponto x=4. Usamos a expressão \mu(x)=x^{-9/4}:
\mu(4)=4^{-9/4}.
Podemos simplificar: 4=(2^{2}), logo
4^{-9/4}=(2^{2})^{-9/4}=2^{-9/2}=\frac{1}{2^{9/2}}=\frac{1}{16\sqrt{2}}.
Portanto \mu(4)=4^{-9/4}=\dfrac{1}{16\sqrt{2}}.

Passo 6

Agora resolvemos a EDO linear usando \mu(x). A teoria diz que
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)u(x)\big)=\mu(x)g(x).
Aqui \mu(x)=x^{-9/4} e g(x)=-\dfrac{5}{4}x. Calculamos o lado direito:
\mu(x)g(x)=x^{-9/4}\left(-\frac{5}{4}x\right)=-\frac{5}{4}x^{1-9/4}=-\frac{5}{4}x^{-5/4}.
Integramos ambos os lados em x:
\mu(x)u(x)=\int -\frac{5}{4}x^{-5/4}\,dx + C.
Calcule a integral passo a passo: para \int x^{m}\,dx = \dfrac{x^{m+1}}{m+1} (quando m\neq -1). Aqui m=-\tfrac{5}{4}, então m+1=-\tfrac{1}{4}. Assim
\int -\frac{5}{4}x^{-5/4}\,dx = -\frac{5}{4}\cdot\frac{x^{-1/4}}{-1/4} = -\frac{5}{4}\cdot(-4)\,x^{-1/4} =5x^{-1/4}.
Logo
x^{-9/4}u(x)=5x^{-1/4}+C.

Passo 7

Agora isolamos u(x). Multiplicando ambos os lados por x^{9/4}:
u(x)=x^{9/4}\big(5x^{-1/4}+C\big)=5x^{9/4-1/4}+C x^{9/4}=5x^{8/4}+C x^{9/4}.
Simplificando os expoentes:
u(x)=5x^{2}+C x^{9/4}.
Lembrando que u=e^{y}, então a família geral de soluções é
e^{y}=5x^{2}+C x^{9/4},
onde C é a constante de integração. No enunciado o coeficiente que define a solução única é chamado de k; portanto k=C.

Passo 8

Agora impomos a condição inicial P=(1,0): em x=1 temos y(1)=0, então u(1)=e^{0}=1. Substituindo em
u(1)=5\cdot 1^{2}+C\cdot 1^{9/4},
obtemos
1=5+C.
Logo
C=1-5=-4.
Portanto o coeficiente pedido é k=C=-4.

Resposta

\mu(x=4)=4^{-9/4}=\dfrac{1}{16\sqrt{2}}\n
k=-4

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