Considere a seguinte EDO de primeira ordem, com soluções com domínio nos números reais estritamente positivos:
4 x e^{y} \frac{d y}{d x}-9 e^{y}=-5 x^{2}
Q1. Faça a substituição necessária transformando essa EDO em uma EDO linear. Calcule o fator de integração, \mu(x), da EDO linear e - avalie no ponto x=4
Coloque sua resposta aqui: \mu(x=4)=\square
Q2. Obtenha o valor do coeficiente \boldsymbol{k} que define a solução única que passa pelo ponto P=(1,0). Coloque abaixo o valor desse coeficiente k.
Coloque sua resposta aqui: k=\square
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem, válida para x>0:
4 x e^{y} \frac{d y}{d x}-9 e^{y}=-5 x^{2}.
Perguntas pedidas:
Q1: Fazer a substituição que transforma a EDO em uma EDO linear; calcular o fator de integração \mu(x) da EDO linear e avaliar esse \mu em x=4. Preciso fornecer \mu(x=4)=\square.
Q2: Encontrar o valor do coeficiente k que define a solução única que passa por P=(1,0). Preciso fornecer k=\square.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação contém e^{y} multiplicando \dfrac{dy}{dx} e também no termo independente; isso sugere a substituição u=e^{y}.
Domínio x>0 garante que logaritmos e potências racionais de x estão bem definidas e que podemos dividir por x.
A resolução real começa no próximo passo.
Passo 2
Por que escolher u=e^{y}? Explicação didática: quando aparece e^{y} multiplicando \dfrac{dy}{dx}, é útil lembrar que
\frac{d}{dx}\big(e^{y}\big)=e^{y}\frac{dy}{dx}.
Então se definirmos u(x)=e^{y(x)}, teremos \dfrac{du}{dx}=e^{y}\dfrac{dy}{dx}. Isso transforma o termo e^{y}\dfrac{dy}{dx} em \dfrac{du}{dx}, que normalmente simplifica a equação para uma linear em u. Vamos aplicar essa substituição.
Passo 3
Substituindo u=e^{y} na equação original:
4 x \underbrace{e^{y}\frac{dy}{dx}}_{=\frac{du}{dx}} - 9 e^{y} = -5 x^{2}.
Fica então
4 x \frac{du}{dx} - 9 u = -5 x^{2}.
Agora colocamos em forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, \dfrac{du}{dx}+p(x)u=g(x). Dividindo por 4x (lembrando x>0):
\frac{du}{dx} - \frac{9}{4x} u = -\frac{5}{4} x.
Portanto a EDO linear em u tem
p(x) = -\frac{9}{4x},\qquad g(x) = -\frac{5}{4}x.
Passo 4
Agora vamos calcular o fator integrante (fator de integração) \mu(x). Lembrando a teoria: para a EDO