[22 pts] Considere
.
(a) Determine a integral
.
(b) Determine se a integral
converge ou não. Se convergente, determine o valor da integral.
Obs.: formule/expresse precisamente a integral imprópria em termos de um limite.
(a) Determine a integral
(b) Determine se a integral
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Determinar a integral indefinida
. - (b) Verificar se a integral imprópria
converge; se convergir, calcular o seu valor. O enunciado exige também que a integral imprópria seja formulada precisamente em termos de um limite.
Informações relevantes: a função explícita
e os limites da integral imprópria
e
.
Passo 2
Para calcular
vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar a fórmula devagarinho:
A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhas que fazemos dentro da integral. Depois calculamos
(a derivada de
vezes
) e
(uma antiderivada de
).
Escolhemos
e
de forma prática: geralmente pegamos
como a parte que fica mais simples quando derivada e
como a parte cuja primitiva é simples. Aqui é natural escolher
Então
Agora precisamos achar
, isto é, uma primitiva de
. Calculamos
Uma primitiva óbvia é
, porque
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes com
,
e
. Temos
Simplificando os sinais:
Já sabemos que
. Substituindo:
Agora juntamos os termos:
Opcionalmente podemos factorizar
, mas a forma com
é clara.
Passo 4
Agora tratamos a integral imprópria. Por definição, escrevemos a integral imprópria como um limite:
Usamos a primitiva encontrada no Passo 3, que chamo de
:
Então, para
,
Logo
Passo 5
Precisamos avaliar
. Escrevendo
temos que é a soma de termos do tipo
e
. Mostro que ambos tendem a zero quando
:
-
Claramente
. -
Para
podemos escrever . Aplicando a regra de L’Hôpital (forma ):
Portanto
.
Com isso
. Então a integral imprópria converge (porque o limite existe finito) e
Passo 6
Calculamos
. Substituindo
em
:
Portanto
Resposta
(a)
(b) A integral imprópria converge e