[22 pts] Considere f(x)=x \mathrm{e}^{-2 x}.
(a) Determine a integral \int f(x) d x.
(b) Determine se a integral \int_{4}^{\infty} f(x) d x converge ou não. Se convergente, determine o valor da integral.
Obs.: formule/expresse precisamente a integral imprópria em termos de um limite.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x\mathrm{e}^{-2x} e pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a integral indefinida \int f(x)\,dx.
  2. (b) Verificar se a integral imprópria \int_{4}^{\infty} f(x)\,dx converge; se convergir, calcular o seu valor. O enunciado exige também que a integral imprópria seja formulada precisamente em termos de um limite.
Informações relevantes: a função explícita f(x)=x\mathrm{e}^{-2x} e os limites da integral imprópria 4 e \infty.

Passo 2

Para calcular \int x\mathrm{e}^{-2x}\,dx vamos usar a fórmula de integração por partes. Vou explicar a fórmula devagarinho:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos dentro da integral. Depois calculamos du (a derivada de u vezes dx) e v (uma antiderivada de dv).
Escolhemos u e dv de forma prática: geralmente pegamos u como a parte que fica mais simples quando derivada e dv como a parte cuja primitiva é simples. Aqui é natural escolher
u = x,\qquad dv = \mathrm{e}^{-2x}\,dx.
Então
du = dx.
Agora precisamos achar v, isto é, uma primitiva de \mathrm{e}^{-2x}. Calculamos
v = \int \mathrm{e}^{-2x}\,dx.
Uma primitiva óbvia é \displaystyle v = -\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}, porque \frac{d}{dx}\big(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\big) = \mathrm{e}^{-2x}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes com u=x, v=-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x} e du=dx. Temos
\int x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = u v - \int v\,du = x\left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right)\,dx.
Simplificando os sinais:
\int x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int \mathrm{e}^{-2x}\,dx.
Já sabemos que \int \mathrm{e}^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}. Substituindo:
\int x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = -\tfrac{x}{2}\mathrm{e}^{-2x} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right) + C.
Agora juntamos os termos:
\int x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = -\left(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-2x} + C.
Opcionalmente podemos factorizar -\tfrac{1}{4}\mathrm{e}^{-2x}(2x+1), mas a forma com -\big(\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{4}\big)\mathrm{e}^{-2x}+C é clara.

Passo 4

Agora tratamos a integral imprópria. Por definição, escrevemos a integral imprópria como um limite:
\int_{4}^{\infty} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx \;=\; \lim_{b\to\infty}\int_{4}^{b} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx.
Usamos a primitiva encontrada no Passo 3, que chamo de F(x):
F(x) = -\left(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-2x}.
Então, para 4\le x\le b,
\int_{4}^{b} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = F(b) - F(4).
Logo
\int_{4}^{\infty} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\big(F(b)-F(4)\big) = \lim_{b\to\infty}F(b) - F(4).

Passo 5

Precisamos avaliar \lim_{b\to\infty}F(b). Escrevendo
F(b) = -\left(\tfrac{b}{2}+\tfrac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-2b},
temos que é a soma de termos do tipo b\mathrm{e}^{-2b} e \mathrm{e}^{-2b}. Mostro que ambos tendem a zero quando b\to\infty:
  • Claramente \lim_{b\to\infty}\mathrm{e}^{-2b}=0.
  • Para \lim_{b\to\infty} b\mathrm{e}^{-2b} podemos escrever b\mathrm{e}^{-2b}=\dfrac{b}{\mathrm{e}^{2b}}. Aplicando a regra de L’Hôpital (forma \tfrac{\infty}{\infty}):
\lim_{b\to\infty}\frac{b}{\mathrm{e}^{2b}} =\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2\mathrm{e}^{2b}}=0.
Portanto \lim_{b\to\infty} b\mathrm{e}^{-2b}=0.
Com isso \lim_{b\to\infty}F(b)=0. Então a integral imprópria converge (porque o limite existe finito) e
\int_{4}^{\infty} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = 0 - F(4) = -F(4).

Passo 6

Calculamos F(4). Substituindo x=4 em F(x):
F(4) = -\left(\tfrac{4}{2}+\tfrac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-8} = -\left(2+\tfrac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-8} = -\tfrac{9}{4}\mathrm{e}^{-8}.
Portanto
\int_{4}^{\infty} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = -F(4) = \tfrac{9}{4}\mathrm{e}^{-8}.

Resposta

(a) -\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4}\right)\mathrm{e}^{-2x}+C
(b) A integral imprópria converge e
\int_{4}^{\infty} x\mathrm{e}^{-2x}\,dx = \dfrac{9}{4}\mathrm{e}^{-8}.

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