Encontre a resposta particular para os seguintes sistemas:
5 y^{\prime}(t)+10 y(t)=2 x(t), para x(t)=5 e^{-3 t}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a resposta particular da equação diferencial linear de primeira ordem
5\,y'(t)+10\,y(t)=2\,x(t),
quando x(t)=5e^{-3t}.
Informações dadas:
x(t)=5e^{-3t}.
A equação pode ser reescrita substituindo x(t) na direita. Queremos apenas a solução particular y_p(t) (não é pedido resolver a solução geral).

Passo 2

Primeiro simplifico o membro direito substituindo x(t):
2\,x(t)=2\cdot 5e^{-3t}=10e^{-3t}.
Portanto a equação a resolver para achar a particular é
5\,y'(t)+10\,y(t)=10e^{-3t}.

Passo 3

Vou usar o método dos coeficientes a determinar (método de undetermined coefficients). Ideia básica (explicando devagar): quando a força externa (o lado direito) é uma função exponencial do tipo Ae^{\alpha t} e \alpha não é raiz do polinômio característico da parte homogênea, procuramos uma solução particular da mesma forma y_p(t)=C e^{\alpha t}, com C constante a determinar. Aqui a força externa é 10e^{-3t}, ou seja A=10 e \alpha=-3.
Antes de assumir a forma, verifico se há ressonância: encontro a solução da homogênea associada.
A equação homogênea é
5\,y'(t)+10\,y(t)=0.
Coloco y(t)=e^{rt} para achar a equação característica:
5r+10=0.
Logo
r=-2.
Como -3 (do termo e^{-3t}) é diferente de -2, não há ressonância. Portanto é correto assumir uma particular da forma y_p(t)=C e^{-3t}.

Passo 4

Faço a hipótese de solução particular:
y_p(t)=C e^{-3t},
onde C é uma constante a determinar. Aqui C representa amplitude da resposta particular. Agora calculo a derivada necessária:
y_p'(t) = \frac{d}{dt}\big(C e^{-3t}\big) = -3C e^{-3t}.
Expliquei: derivada de e^{\alpha t} é \alpha e^{\alpha t}; com \alpha=-3 isso dá -3e^{-3t}. O fator C passa multiplicando normalmente.

Passo 5

Substituo y_p e y_p' na equação original (já com o lado direito simplificado):
5\,(-3C e^{-3t}) + 10\,(C e^{-3t}) = 10 e^{-3t}.
Coloco em evidência e^{-3t} (que nunca é zero, mas usamos para comparar coeficientes):
(-15C + 10C)\,e^{-3t} = 10 e^{-3t}.
Logo
(-5C)\,e^{-3t} = 10 e^{-3t}.

Passo 6

Como e^{-3t} é comum e não nulo, podemos dividir ambos os lados por e^{-3t}, obtendo a equação para C:
-5C = 10.
Assim
C = -2.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_p(t) = -2 e^{-3t}.
Verificação rápida (substituição direta): calcule y_p' = -3(-2)e^{-3t}=6e^{-3t}. Substituindo:
5\cdot y_p' + 10\cdot y_p = 5\cdot 6e^{-3t} + 10\cdot(-2e^{-3t}) = 30e^{-3t} -20e^{-3t} = 10e^{-3t},
que coincide com o lado direito, então está correto.

Resposta

y_p(t) = -2 e^{-3t}

Exercícios relacionados