Encontre a resposta particular para os seguintes sistemas:
, para
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a resposta particular da equação diferencial linear de primeira ordem
quando
.
Informações dadas:
A equação pode ser reescrita substituindo
na direita. Queremos apenas a solução particular
(não é pedido resolver a solução geral).
Passo 2
Primeiro simplifico o membro direito substituindo
:
Portanto a equação a resolver para achar a particular é
Passo 3
Vou usar o método dos coeficientes a determinar (método de undetermined coefficients). Ideia básica (explicando devagar): quando a força externa (o lado direito) é uma função exponencial do tipo
e
não é raiz do polinômio característico da parte homogênea, procuramos uma solução particular da mesma forma
, com
constante a determinar. Aqui a força externa é
, ou seja
e
.
Antes de assumir a forma, verifico se há ressonância: encontro a solução da homogênea associada.
A equação homogênea é
Coloco
para achar a equação característica:
Logo
Como
(do termo
) é diferente de
, não há ressonância. Portanto é correto assumir uma particular da forma
.
Passo 4
Faço a hipótese de solução particular:
onde
é uma constante a determinar. Aqui
representa amplitude da resposta particular. Agora calculo a derivada necessária:
Expliquei: derivada de
é
; com
isso dá
. O fator
passa multiplicando normalmente.
Passo 5
Substituo
e
na equação original (já com o lado direito simplificado):
Coloco em evidência
(que nunca é zero, mas usamos para comparar coeficientes):
Logo
Passo 6
Como
é comum e não nulo, podemos dividir ambos os lados por
, obtendo a equação para
:
Assim
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
Verificação rápida (substituição direta): calcule
. Substituindo:
que coincide com o lado direito, então está correto.