(10%) Questão 13. Considerando os
números
, e usando a desigualade da média, deduza que a sequência
definida por
é decrescente para
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência definida por
e pede para provar que ela é decrescente para
.
Também nos fornece, para cada , os
números
Também nos fornece, para cada
(uma vez o número
e
vezes o número
).
O que precisamos mostrar é que, para todo ,
O que precisamos mostrar é que, para todo
Passo 2
Vamos usar a desigualdade da média aritmética e geométrica (AM ≥ GM). Vou explicar o que ela diz e por que podemos aplicá-la aqui.
A desigualdade AM ≥ GM: para quaisquer
números positivos
vale
ou seja, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica. Aqui todos os números são positivos porque, para
, temos
.
Aplicamos AM ≥ GM aos
números dados. Primeiro calculemos a média aritmética (AM) e a média geométrica (GM) desses números.
Soma dos números:
Portanto a média aritmética é
A média geométrica é
Passo 3
Pela desigualdade AM ≥ GM obtemos
Ambos os lados são positivos; então podemos elevar ambos os lados à potência
(uma operação monotônica para números positivos) e obter
Agora tome reciprōcos (para números positivos, tomar o inverso inverte a desigualdade):
Passo 4
Reconhecemos as expressões das duas sequências:
e
Portanto a desigualdade do passo anterior é simplesmente
válida para todo
. Isso significa que a sequência
é decrescente.
Resposta
A sequência
é decrescente para
.