(10%) Questão 13. Considerando os n+1 números 1,1-\frac{1}{n}, \ldots, 1-\frac{1}{n}, e usando a desigualade da média, deduza que a sequência \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} definida por
x_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}
é decrescente para n=2,3, \ldots.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por
x_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n},\qquad n=2,3,\ldots
e pede para provar que ela é decrescente para n=2,3,\ldots.
Também nos fornece, para cada n, os n+1 números
1,\;1-\frac{1}{n},\;1-\frac{1}{n},\;\ldots,\;1-\frac{1}{n}
(uma vez o número 1 e n vezes o número 1-\frac{1}{n}).
O que precisamos mostrar é que, para todo n\ge2,
x_{n+1}\le x_{n}.

Passo 2

Vamos usar a desigualdade da média aritmética e geométrica (AM ≥ GM). Vou explicar o que ela diz e por que podemos aplicá-la aqui.
A desigualdade AM ≥ GM: para quaisquer m números positivos a_{1},\dots,a_{m} vale
\frac{a_{1}+\cdots+a_{m}}{m}\ge\bigl(a_{1}\cdots a_{m}\bigr)^{1/m},
ou seja, a média aritmética é maior ou igual à média geométrica. Aqui todos os números são positivos porque, para n\ge2, temos 1-\frac{1}{n}>0.
Aplicamos AM ≥ GM aos n+1 números dados. Primeiro calculemos a média aritmética (AM) e a média geométrica (GM) desses números.
Soma dos números:
1 + n\left(1-\frac{1}{n}\right)=1+n-\cancel{1}=n.
Portanto a média aritmética é
\text{AM}=\frac{n}{n+1}.
A média geométrica é
\text{GM}=\left(1\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{1/(n+1)}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\!n/(n+1)}.

Passo 3

Pela desigualdade AM ≥ GM obtemos
\frac{n}{n+1}\ge\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\!n/(n+1)}.
Ambos os lados são positivos; então podemos elevar ambos os lados à potência n+1 (uma operação monotônica para números positivos) e obter
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}\ge\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}.
Agora tome reciprōcos (para números positivos, tomar o inverso inverte a desigualdade):
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}\le\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}.

Passo 4

Reconhecemos as expressões das duas sequências:
\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}= \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)} = x_{n+1},
e
\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}=x_{n}.
Portanto a desigualdade do passo anterior é simplesmente
x_{n+1}\le x_{n},
válida para todo n\ge2. Isso significa que a sequência \bigl(x_{n}\bigr)_{n\ge2} é decrescente.

Resposta

A sequência \displaystyle x_{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} é decrescente para n=2,3,\ldots.

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