Verifique que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 y^{2}-x^{2}}{x y};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{2y^{2}-x^{2}}{x y}
é homogênea e, em caso afirmativo, resolver essa equação (encontrar a solução geral). Informações dadas que vamos usar: a equação é de primeira ordem e a derivada \frac{dy}{dx} está expressa como uma função racional em x e y. Não há condições iniciais fornecidas.

Passo 2

O que significa “homogênea” aqui (explicação didática): uma função F(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t\neq0,
F(tx,ty)=t^{k}F(x,y).
No caso de uma equação de primeira ordem do tipo \frac{dy}{dx}=F(x,y), dizemos que F é homogênea de grau 0 se F(tx,ty)=F(x,y). Uma propriedade útil é que se F é homogênea de grau 0 então F pode ser escrita como função de v=\frac{y}{x} (ou seja, F(x,y)=G\!\left(\frac{y}{x}\right)). O método padrão para resolver é substituir
y=vx,
onde v é função de x. Precisamos também da fórmula para a derivada dy/dx em termos de v:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Vou usar isso em seguida.

Passo 3

Verificação direta de homogeneidade: calcule a expressão do lado direito como uma função de x e y.
\frac{2y^{2}-x^{2}}{x y}.
Observe que o numerador tem termos de grau 2 em x,y (pois y^2 e x^2 são de grau 2) e o denominador x y também é de grau 2. Assim a razão é homogênea de grau 0, ou alternativamente podemos reescrever em termos de v=\frac{y}{x}. Faço isso já no próximo passo.

Passo 4

Substituição y=vx. Primeiro expresso o lado direito em v:
\frac{2y^{2}-x^{2}}{x y} =\frac{2(vx)^{2}-x^{2}}{x\cdot (v x)} =\frac{2v^{2}x^{2}-x^{2}}{v x^{2}} =\frac{2v^{2}-1}{v}.
Portanto o lado direito depende somente de v=\frac{y}{x}, confirmando a homogeneidade. Agora uso a fórmula da derivada:
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Igualando as duas expressões da EDO:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{2v^{2}-1}{v}.

Passo 5

Isolo \frac{dv}{dx} e obtenho uma equação separável em v e x. Primeiro calculo o lado direito menos v:
x\frac{dv}{dx}=\frac{2v^{2}-1}{v}-v =\frac{2v^{2}-1-v^{2}}{v} =\frac{v^{2}-1}{v}.
Logo
\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}-1}{v x}.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{v}{v^{2}-1}\,dv=\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integro ambos os lados (explico a integral do lado esquerdo passo a passo). No lado esquerdo use a substituição u=v^{2}-1, então du=2v\,dv, ou seja v\,dv=\frac{1}{2}du. Assim
\int \frac{v}{v^{2}-1}\,dv =\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} =\frac{1}{2}\ln|u|+C =\frac{1}{2}\ln|v^{2}-1|+C.
No lado direito
\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
Igualando constantes (colocando todas as constantes numa só) obtemos:
\frac{1}{2}\ln|v^{2}-1|=\ln|x|+C.

Passo 7

Manipulo a equação logarítmica para isolar v. Multiplico por 2:
\ln|v^{2}-1|=2\ln|x|+C_{1},
onde C_{1}=2C é uma constante arbitrária. Exponenciando:
|v^{2}-1|=C_{2}x^{2},
onde C_{2}=e^{C_{1}}>0. Para lidar com sinais e permitir constantes reais arbitrárias, escrevo de forma equivalente com constante C\in\mathbb{R}:
v^{2}-1=C x^{2}.
Agora volto à variável original y usando v=\frac{y}{x}:
\left(\frac{y}{x}\right)^{2}-1=C x^{2}.
Multiplicando por x^{2} obtemos uma forma implícita simples:
y^{2}-x^{2}=C x^{4}.
Isolando y explicitamente:
y=\pm x\sqrt{1+C x^{2}}.
Isso é a família de soluções gerais (com constante arbitrária C).

Passo 8

Tratamento das soluções singulares/peculiares: durante a separação eu dividi por v^{2}-1 indiretamente (o integrando \frac{v}{v^{2}-1} é singular em v=\pm1), então é preciso checar se v=\pm1 (ou seja, y=\pm x) são soluções da equação original. Substituindo y=x na EDO:
\frac{dy}{dx}=1,\qquad \frac{2y^{2}-x^{2}}{xy}=\frac{2x^{2}-x^{2}}{x\cdot x}=1,
logo y=x satisfaz. Substituindo y=-x:
\frac{dy}{dx}=-1,\qquad \frac{2y^{2}-x^{2}}{xy}=\frac{2x^{2}-x^{2}}{x(-x)}=-1,
logo y=-x também satisfaz. Essas soluções correspondem ao caso em que v^{2}-1=0 (podem ser obtidas da forma implícita com C=0 como y^{2}-x^{2}=0), mas é importante mencioná-las separadamente porque a integral passou por pontos singulares.

Resposta

y^{2}-x^{2}=C x^{4},\; C\in\mathbb{R}
y=\pm x (soluções singulares, equivalentes a C=0).

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