Verifique que as seguintes equações são homogêneas e resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial
é homogênea e, em caso afirmativo, resolver essa equação (encontrar a solução geral). Informações dadas que vamos usar: a equação é de primeira ordem e a derivada
está expressa como uma função racional em
e
. Não há condições iniciais fornecidas.
Passo 2
O que significa “homogênea” aqui (explicação didática): uma função
é homogênea de grau
se, para todo
,
No caso de uma equação de primeira ordem do tipo
, dizemos que
é homogênea de grau
se
. Uma propriedade útil é que se
é homogênea de grau
então
pode ser escrita como função de
(ou seja,
). O método padrão para resolver é substituir
onde
é função de
. Precisamos também da fórmula para a derivada
em termos de
:
Vou usar isso em seguida.
Passo 3
Verificação direta de homogeneidade: calcule a expressão do lado direito como uma função de
e
.
Observe que o numerador tem termos de grau
em
(pois
e
são de grau
) e o denominador
também é de grau
. Assim a razão é homogênea de grau
, ou alternativamente podemos reescrever em termos de
. Faço isso já no próximo passo.
Passo 4
Substituição
. Primeiro expresso o lado direito em
:
Portanto o lado direito depende somente de
, confirmando a homogeneidade. Agora uso a fórmula da derivada:
Igualando as duas expressões da EDO:
Passo 5
Isolo
e obtenho uma equação separável em
e
. Primeiro calculo o lado direito menos
:
Logo
Rearranjando para separar variáveis:
Passo 6
Integro ambos os lados (explico a integral do lado esquerdo passo a passo). No lado esquerdo use a substituição
, então
, ou seja
. Assim
No lado direito
Igualando constantes (colocando todas as constantes numa só) obtemos:
Passo 7
Manipulo a equação logarítmica para isolar
. Multiplico por
:
onde
é uma constante arbitrária. Exponenciando:
onde
. Para lidar com sinais e permitir constantes reais arbitrárias, escrevo de forma equivalente com constante
:
Agora volto à variável original
usando
:
Multiplicando por
obtemos uma forma implícita simples:
Isolando
explicitamente:
Isso é a família de soluções gerais (com constante arbitrária
).
Passo 8
Tratamento das soluções singulares/peculiares: durante a separação eu dividi por
indiretamente (o integrando
é singular em
), então é preciso checar se
(ou seja,
) são soluções da equação original. Substituindo
na EDO:
logo
satisfaz. Substituindo
:
logo
também satisfaz. Essas soluções correspondem ao caso em que
(podem ser obtidas da forma implícita com
como
), mas é importante mencioná-las separadamente porque a integral passou por pontos singulares.