10^a Questão: Dada a matriz A=(lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2) Determine a inversa dessa matriz utilizando o ã método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O problema pede para encontrar a inversa da matriz
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2
usando o método de Gauss–Jordan. A ideia é montar a matriz aumentada [Amid I], aplicar operações elementares para transformar o bloco A na matriz identidade I, e então o bloco que surgir do lado direito será A^-1.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada [Amid I]:
l[Amid Ir] = 1 & 1 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 1 & 0 & 2 &mid& 0 & 0 & 1

Passo 3

Queremos zerar o elemento na posição (3,1). Como já temos pivô 1 em (1,1), fazemos
R3 R3 - R1
Isso dá
1 & 1 & 0 &mid& 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 &mid& -1 & 0 & 1

Passo 4

Agora usamos o pivô 1 em (2,2) para zerar as entradas acima e abaixo na coluna 2. Fazemos
R1 R1-R2, R3 R3+R2
Aplicando, obtemos
1 & 0 & -1 &mid& 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 &mid& -1 & 1 & 1

Passo 5

O pivô na terceira linha, terceira coluna vale 3. Para deixá-lo igual a 1, dividimos toda a linha 3 por 3:
R3 tfrac13R3
Fica
1 & 0 & -1 &mid& 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13

Passo 6

Por fim, zeramos as entradas nas posições (1,3) e (2,3) usando o pivô em (3,3):
R1 R1+R3, R2 R2-R3
Isso leva à forma
1 & 0 & 0 &mid& tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 0 & 1 & 0 &mid& tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 0 & 0 & 1 &mid& -tfrac13 & tfrac13 & tfrac13

Resposta

A inversa de A é
A^-1 = tfrac23 & -tfrac23 & tfrac13 tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 -tfrac13& tfrac13 & tfrac13

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