9^a Questão: Dada a matriz A=(cc1 & 2 2 & -1). Diga se a matriz A é inversível, em caso afirmativo, utiliza a adjunta e exiba a inversa de A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 2 & -1
e pede para verificar se A é inversível. Isso envolve calcular o determinante de A e, se for diferente de zero, usar a adjunta (transposta da matriz de cofactores) para escrever
A^-1 = 1det(A) ,adj(A)

Passo 2

Para uma matriz 2times2,
A = a & b c & d,
vale
det(A) = a,d - b,c
Aqui a=1, b=2, c=2, d=-1, logo
det(A) = 1cdot(-1) - 2cdot2 = -1 - 4 = -5

Passo 3

Como det(A) = -5 neq 0, a matriz A é inversível. Agora formamos a matriz de cofactores C = (Cij), onde cada cofator é
Cij = (-1)^i+j Mij,
sendo Mij o menor de aij. Em detalhe:
o menor M11 é o determinante de l[-1r], ou seja -1;
M12 é o determinante de l[2r], ou seja 2;
M21=2;
M22=1.
Logo
C11=(-1)^2(-1)=-1, C12=(-1)^3cdot2=-2, C21=(-1)^3cdot2=-2, C22=(-1)^4cdot1=1

Passo 4

A adjunta de A é a transposta da matriz de cofactores:
adj(A) = C^T = C11 & C21 [6pt] C12 & C22 = -1 & -2 [3pt] -2 & 1 ]

Passo 5

Finalmente, usando
A^-1 = 1det(A),adj(A),
temos
A^-1 = -15-1 & -2 [3pt]-2 & 1 = 15 & 25 [3pt] 25 & -15 ]

Resposta

A matriz A é inversível e
A^-1 = 15 & 25 [3pt] 25 & -15 ]

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