Questão 2 - Multiplicação de Matrizes e Inversa Sejam as matrizes:
A=[ccc 1 & 2 & 0 0 & -1 & 3 2 & 1 & 1 ] e B=[ccc 2 & 0 & 1 1 & 3 & -1 4 & 2 & 0 ]
(a) Calcule a matriz C=A cdot B.
(b) Verifique se a matriz A é inversível. Se for, calcule A^-1.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 3:
A = 1 & 2 & 0 0 & -1 & 3 2 & 1 & 1 , B = 2 & 0 & 1 1 & 3 & -1 4 & 2 & 0
e pede (a) o produto C = Acdot B (conteúdo: multiplicação de matrizes) e (b) verificar se A é invertível e, se for, calcular A^-1 (conteúdo: determinante e matriz inversa).

Passo 2

Para multiplicar A por B, usamos a definição: cada elemento cij de C é dado pelo produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B,
cij ;=; sumk=1^3 aik,bkj

Passo 3

Calculando a primeira linha de C:
c11 = 1cdot2 + 2cdot1 + 0cdot4 = 4, c12 = 1cdot0 + 2cdot3 + 0cdot2 = 6, c13 = 1cdot1 + 2cdot(-1) + 0cdot0 = -1

Passo 4

Calculando a segunda e a terceira linhas de C:
c21 = 0cdot2 + (-1)cdot1 + 3cdot4 = 11, c22 = 0cdot0 + (-1)cdot3 + 3cdot2 = 3, c23 = 0cdot1 + (-1)cdot(-1) + 3cdot0 = 1,
c31 = 2cdot2 + 1cdot1 + 1cdot4 = 9, c32 = 2cdot0 + 1cdot3 + 1cdot2 = 5, c33 = 2cdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot0 = 1

Passo 5

Portanto
C = Acdot B = 4 & 6 & -1 11 & 3 & 1 9 & 5 & 1

Passo 6

Para verificar se A é invertível, calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdotdet!-1 & 31 & 1 -2cdotdet!0 & 32 & 1 +0cdotl(cdotsr) =1cdot(-1-3)-2cdot(0-6) =-4+12=8
Como det(A)=8neq0, A é invertível.

Passo 7

Para A^-1 usamos a fórmula A^-1 = tfrac1det(A)adj(A).
  1. Calculamos a matriz dos cofatores de A:
cof(A)= -4 & 6 & 2 -2 & 1 & 3 6 & -3 & -1
  1. A adjunta é a transposta dessa matriz:
adj(A) = cof(A)^T = -4 & -2 & 6 6 & 1 & -3 2 & 3 & -1

Passo 8

Logo
A^-1 = 18 -4 & -2 & 6 6 & 1 & -3 2 & 3 & -1

Resposta

(a) C = 4 & 6 & -1 11 & 3 & 1 9 & 5 & 1
(b) A^-1 = 18 -4 & -2 & 6 6 & 1 & -3 2 & 3 & -1

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