10^a Questão: Determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados:
y=arctg^2(x), no ponto de abscissa raiz3;

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
y = l(arctan(x)r)^2
no ponto cuja abscissa é x0 = raiz3. Vamos usar a derivada para obter o coeficiente angular da tangente e depois a inclinação da normal.

Passo 2

Calculamos o valor de y no ponto x0=raiz3:
y0 = l(arctan(raiz3)r)^2 = l(tfracpi3r)^2 = pi^29

Passo 3

Derivamos y em relação a x usando regra da cadeia e a derivada ddxl[arctan(x)r]=11+x^2:
y' = 2,arctan(x),cdot11+x^2
No ponto x0=raiz3 isso vira
m = y'( raiz3 ) = 2cdotpi3cdot11+3 = 2pi3cdot14 = pi6

Passo 4

A reta tangente em ponto (x0,y0) fica, em forma ponto-inclinação,
y - pi^29 = pi6,l(x - raiz3r)

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular oposto e inverso, isto é,
mnormal = -1m = -1pi/6 = -6pi
Logo, sua equação ponto-inclinação é
y - pi^29 = -6pi,l(x - raiz3r)

Resposta

A reta tangente é
y - pi^29 = pi6,l(x - raiz3r),
e a reta normal é
y - pi^29 = -6pi,l(x - raiz3r)

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