lim x infty(x^2+1x^2)^x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(x^2+1x^2r)^x^2
O conteúdo é um limite exponencial do tipo (1+pequeno)^grande. Para resolver vamos reescrever a base e usar logaritmo natural.

Passo 2

Observe que
x^2+1x^2 = 1 + 1x^2
Definindo
L = limxtoinftyl(1+tfrac1x^2r)^x^2,
podemos encontrar L calculando primeiro ln L.

Passo 3

Calculemos
ln L = limxtoinfty x^2,lnl(1+tfrac1x^2r)
Como tfrac1x^2to0, usamos o desenvolvimento
ln(1+u)=u+o(u)(uto0),
com u=1/x^2. Assim,
x^2,lnl(1+tfrac1x^2r) = x^2l(tfrac1x^2+o(tfrac1x^2)r) =1+o(1) ;longrightarrow;1
Logo ln L=1.

Passo 4

Elevando e dos dois lados, obtemos
L = e^1 = e

Resposta

e

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