Se a=2 cm e b=3 cm, e theta aumenta a uma taxa de 0,2 rad /min, qualo rápido a área está crescendo quando theta=pi / 3 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos dois lados fixos de um triângulo com comprimentos a=2 cm e b=3 cm, e o ângulo entre eles é theta, que varia no tempo com dfracdthetadt=0,2 rad/min. O conteúdo é taxas relacionadas, e vamos precisar da fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo entre eles:
A = tfrac12,a,b,sin(theta)

Passo 2

Aplicamos diretamente a fórmula com a e b constantes:
A(t) = tfrac12 times 2 times 3 times sin(theta) = 3,sin(theta)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação ao tempo t, lembrando que a e b são constantes e theta=theta(t):
dAdt = 3,cos(theta),dthetadt

Passo 4

Substituímos theta = pi/3 (onde cos(pi/3)=tfrac12) e dfracdthetadt=0,2 rad/min:
dAdt = 3 times 12 times 0,2 = 3 times 0,1 = 0,3cm^2/min

Resposta

A área está crescendo a uma taxa de 0,3 cm^2/min quando theta=pi/3.

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