Nos exercícios abaixo, desenhe o conjunto A subset R^2 e calcule sua área.
A é o conjunto limitado pelo eixo O x e pelo gráfico de y=x^3-x, com -1 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área do conjunto AsubsetR^2 limitado pelo eixo Ox e pelo gráfico de
y = x^3 - x,
no intervalo -1 <= x <= 2. O conteúdo é cálculo de área por integrais, usando que a área entre a curva e o eixo é dada por integral |f(x)|,dx.

Passo 2

Primeiro encontramos onde o gráfico corta o eixo Ox resolvendo
x^3 - x = 0 Longrightarrow x(x^2 - 1)=0 Longrightarrow x = -1,,0,,1

Passo 3

Para saber onde a curva está acima ou abaixo do eixo, avaliamos o sinal de f(x)=x^3 - x em cada trecho:
  • Em [-1,0]: tomemos x=-tfrac12, então f(-tfrac12)=(-tfrac12)^3-(-tfrac12)=tfrac18+tfrac12>0. Logo f(x)>=0.
  • Em [0,1]: tomemos x=tfrac12, então f(tfrac12)=(tfrac12)^3-tfrac12=-tfrac14<0. Logo f(x)<=0.
  • Em [1,2]: tomemos x=2, então f(2)=8-2=6>0. Logo f(x)>=0.

Passo 4

A área total é a soma das áreas absolutas em cada subintervalo, ou seja
Área(A) =integral-1^0l(x^3 - xr),dx ;+;integral0^1l[-(x^3 - x)r],dx ;+;integral1^2l(x^3 - xr),dx Á

Passo 5

Calculamos as três integrais; como
integrall(x^3 - xr),dx =x^44-x^22,
temos
integral-1^0(x^3 - x),dx =l[tfracx^44-tfracx^22r]-1^0 =0-l(tfrac14-tfrac12r) =+tfrac14,
integral0^1l[-(x^3 - x)r],dx =integral0^1(x - x^3),dx =l[tfracx^22-tfracx^44r]0^1 =tfrac12-tfrac14 =tfrac14,
integral1^2(x^3 - x),dx =l[tfracx^44-tfracx^22r]1^2 =l(4-2r)-l(tfrac14-tfrac12r) =2-(-tfrac14) =tfrac94

Passo 6

Somando as três partes, a área fica
Área(A) =tfrac14+tfrac14+tfrac94 =tfrac114 Á

Resposta

A área de A é 114

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