10^ a Questão) Um tanque de formato cúbico é utilizado para armazenar um produto químico a 210 ^circ C, com coeficiente de película de 80 W / m^2 ^circ C. A parede do tanque é constituída de uma camada interna à base de carbono ( k=22 W / m.K ) de 40 mm de espessura, uma camada intermediária de refratário ( k=0,212 W / m.K ) e um invólucro de aço ( k=60 W/m.K) com 10 mm de espessura. Por motivo de segurança dos trabalhadores, a temperatura da superfície externa do aço não deve ser maior que 60^circ C. Considerando que a temperatura ambiente é 30^circ C, com coeficiente de película externo de 20 W / m 2 K, determine:
a) a espessura mínima do refratário para atender a condição de segurança;
b) a temperatura da superfície externa do aço se a camada de refratário for substituída por uma de isolante ( k=0,0289 W / m K ) de mesma espessura.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um tanque cúbico com produto a 210 °C, várias camadas na parede e convecção por dentro e por fora. O assunto é “transmissão de calor em série” (convecção + condução por várias camadas).
O que vamos usar:
  • Modelo de resistência térmica em série:
    R_total = R_conv,interna + R_cond1 + R_cond2 + R_cond3 + R_conv,externa
  • Para convecção: R_conv = 1/(h·A)
  • Para condução em placa: R_cond = L/(k·A)
    Como tudo é por área, A some (trabalhamos em W/m²). Nosso objetivo (a) é achar a espessura mínima do refratário (L₂) para que a superfície externa do aço não passe de 60 °C.

Passo 2

Primeiro a gente traduz a condição “superfície externa do aço ≤ 60 °C” em fluxo de calor q.
Na face externa do aço, a temperatura T_s = T_∞ + q·(1/h_o).
Queremos T_s = 60 °C, sabendo que T_∞=30 °C e h_o=20 W/m²·K.
Logo:
60 - 30 = q cdot 120 Rightarrow q = (60 - 30),·20 = 600 W/m^2

Passo 3

Agora, usando q=600 W/m², relacionamos com a diferença de temperatura total (ΔT = 210–30 = 180 K) e a soma das resistências:
q = Trm interno-TinftyRrm total Rightarrow Rrm total = 180600 = 0,30 K·m^2/W
Escrevendo R_total em séries:
Rrm total = 1hi + L1k1 + L2k2 + L3k3 + 1ho
Conhecemos tudo, menos Ri &= tfrac180 = 0,0125, R1 &= tfrac0,0422 approx 0,001818, R3 &= tfrac0,0160 approx 0,000167, Ro &= tfrac120 = 0,05 . Vamos calcular o “R_fixas” (tudo que não depende de L₂):
Rrm fixas = 0,0125 + 0,001818 + 0,000167 + 0,05 = 0,064485 K·m^2/W
Somando:
R2 = L2k2 = Rrm total - Rrm fixas = 0,30 - 0,064485 = 0,235515
Como L2 = k2,R2 = 0,212cdot0,235515 approx 0,0499 m , temos
Logo
ou seja, cerca de 50 mm de refratário.

Passo 4

Na parte (b) trocamos o refratário (k₂=0,212) por isolante (k₂=0,0289) mantendo L₂=0,0499 m. Vamos achar a nova T_s externa do aço.
  1. Primeiro a resistência total agora é
Rrm total' = Ri + L1k1 + L20,0289 + R3 + Ro
Calculando só o pedaço novo:
R2' = tfrac0,04990,0289approx1,7287 K·m^2/W
Somando tudo:
Rrm total'approx0,0125+0,001818+1,7287+0,000167+0,05 approx1,7932
  1. O fluxo agora é
q' = 210-30Rrm total' = 1801,7932 approx100,4 W/m^2
  1. A temperatura da superfície externa do aço:
Ts' = Tinfty + q'·1ho =30 + 100,4·0,05 approx35,0 ^circC

Resposta

a) L₂ ≃ 0,050 m (50 mm)
b) T_superfício aço ≃ 35 °C

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