10 Uma reação de segunda ordem do tipo A+2 B \rightarrow P foi conduzida em uma solução que inicialmente era 0,050 \mathrm{~mol} d \mathrm{~m}-3 \mathrm{em} A e 0,030 \mathrm{~mol} d \mathrm{~m}-3 \mathrm{em} \mathrm{B}. Depois de 1,0 \mathrm{~h}, a concentração de A caiu para 0,010 \mathrm{~mol} \mathrm{dm}-3. (a) Calcule a constante de velocidade da reação. (b) Quais as meias-vidas de cada reagente?

Passo 1

O enunciado diz que temos a reação de segunda ordem
A + 2B \longrightarrow P
com concentrações iniciais [A]_0 = 0,050\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}} e [B]_0 = 0,030\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}. Após t = 1{,}0\\ \mathrm{h}, mede-se [A]=0,010\\ \mathrm{mol\,dm^{-3}}. O que precisamos é:
– (a) a constante de velocidade k supondo que a cinética é de segunda ordem em A, i.e.
\text{v} = -\frac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2,
– (b) as meias-vidas de A e de B.

Passo 2

Para uma reação de segunda ordem em A isolado, a equação integrada é
\frac{1}{[A](t)} \;=\;\frac{1}{[A]_0} \;+\;k\,t.
Usando [A]_0=0,050 e [A](1{,}0\,\mathrm{h})=0,010, temos
\frac{1}{0{,}010}-\frac{1}{0{,}050} \;=\;k\,(1{,}0) \quad\Longrightarrow\quad k \;=\;100 - 20 \;=\;80\;\mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,h^{-1}}.

Passo 3

A meia-vida de A numa reação de 2ª ordem (em A) vale
t_{1/2}^{(A)} \;=\;\frac{1}{k\,[A]_0} \;=\;\frac{1}{80\times0{,}050} \;=\;0{,}25\\ \mathrm{h}.

Passo 4

Para B, embora não entre na lei de velocidade, sua concentração varia pelo fator estequiométrico 2:
[B](t) \;=\;[B]_0 \;-\;2\bigl([A]_0 - [A](t)\bigr).
Querendo a meia-vida de B, impomos
[B](t_{1/2}^{(B)}) = \tfrac12\,[B]_0.
Logo
\tfrac12\,0{,}030 =0{,}030 -2\bigl(0{,}050 - [A]\bigr) \quad\Longrightarrow\quad [A]=0{,}050 -\frac{0{,}030}{4}=0{,}0425.
Agora achamos t tal que [A](t)=0{,}0425 usando
\;1/[A](t)=1/[A]_0 +kt:
\frac{1}{0{,}0425}-\frac{1}{0{,}050} =80\,t \quad\Longrightarrow\quad t_{1/2}^{(B)}=\frac{23{,}529-20}{80}\approx0{,}0441\\ \mathrm{h}.

Resposta

k = 80\\ \mathrm{dm^{3}\,mol^{-1}\,h^{-1}}
t_{1/2}^{(A)} = 0{,}25\\ \mathrm{h}
t_{1/2}^{(B)} = 0{,}044\\ \mathrm{h}

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