Resolva a EDO usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria que vamos usar aqui é o método da variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica, que é uma forma simplificada para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla . Quando a raiz é repetida, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Esse m��todo funciona bem quando a solução particular não pode ser facilmente encontrada por outros métodos, como o método dos coeficientes a determinar.
Primeiro, identificamos e como funções que irão variar para satisfazer a equação original. As soluções homogêneas que já encontramos são:
O próximo passo é calcular o Wronskiano dessas soluções:
Agora, aplicamos as fórmulas para e :
A integral de não tem uma solução em termos de funções elementares, então vamos deixá-la assim ou usar uma função especial como a função Exponencial Integrada .
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial: