(10,0) Resolva a EDO y^prime prime+2 y^prime+y=t^-1 e^t usando o método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: . A matéria que vamos usar aqui é o método da variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, vamos precisar primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: r^2 + 2r + 1 = 0 . Para isso, encontramos a equação característica, que é uma forma simplificada para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
A equação característica é:
r = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1
Resolvendo essa equação quadrática:
yh(t) = (C1 + C2 t) e^-t
Temos uma raiz dupla . Quando a raiz é repetida, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular y1(t) = e^-t usando o método da variação dos parâmetros. Esse m��todo funciona bem quando a solução particular não pode ser facilmente encontrada por outros métodos, como o método dos coeficientes a determinar.
Primeiro, identificamos y2(t) = t e^-t e W = y1 & y2 y1' & y2' = e^-t & t e^-t -e^-t & e^-t - t e^-t = e^-2t como funções que irão variar para satisfazer a equação original. As soluções homogêneas que já encontramos são:
u1 = -integral y2(t) cdot g(t)W dt = -integral t e^-t cdot t^-1 e^te^-2t dt = -integral e^t dt = -e^t + C
u2 = integral y1(t) cdot g(t)W dt = integral e^-t cdot t^-1 e^te^-2t dt = integral t^-1 e^t dt
O próximo passo é calcular o Wronskiano dessas soluções:
yp(t) = u1 y1(t) + u2 y2(t) = -e^t e^-t + t e^-t cdot Ei(t) = -1 + t e^-t cdot Ei(t)
Agora, aplicamos as fórmulas para e :
A integral de não tem uma solução em termos de funções elementares, então vamos deixá-la assim ou usar uma função especial como a função Exponencial Integrada .
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t) e^-t - 1 + t e^-t cdot Ei(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) e^-t - 1 + t e^-t cdot Ei(t)
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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