Seja an: n in N uma coleção de números reais não negativos tal que sumn=1^infty an converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de an (com exemplos).
  1. sumn=1^infty an^2
  2. sumn=1^infty raizan
  3. sumn=1^infty raizann

Passo 1

A questão apresenta uma sequência não‐negativa an com sumn=1^infty an e pede para decidir, usando noções de teste de comparação e desigualdades clássicas, quais das séries abaixo convergem sempre e quais podem divergir dependendo de an:
Conteúdo: séries numéricas, testes de comparação, desigualdade de AM–GM e p‐séries.

Passo 2

Como sum an converge e os termos são não‐negativos, temos anto0. Logo, existe N tal que para todo n>= N vale an<1. Então, para n>= N temos
an^2 < an,
opondo um resto da série sumn=N^infty an^2 a um resto convergente de sumn=N^infty an. Assim sum an^2 converge por comparação.

Passo 3

Para sumraizan não existe comparação única porque raizan>an quando 0. Exemplos:
  • Divergência: escolha an=1/n^2. Então raizan=1/n e sum1/n diverge (série harmônica).
  • Convergência: escolha an=1/n^3. Então raizan=1/n^3/2 e sum1/n^3/2 converge (p‐série com p=3/2>1).

Passo 4

Para sumdfracraizann usamos AM–GM no termo geral:
2raizann = 2raizancdot1n^2 <= an + 1n^2
Dividindo por 2, obtemos
raizann <= an2 + 12n^2
Somando em n=1 até infty:
sumn=1^infty raizann <= 12sumn=1^infty an + 12sumn=1^infty 1n^2
Portanto essa série também converge sempre.

Resposta

  1. A série sum an^2 converge necessariamente.
  2. A série sum raizan pode divergir (por exemplo an=1/n^2) ou convergir (por exemplo an=1/n^3).
  3. A série sum raizann converge necessariamente.

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