Seja
uma coleção de números reais não negativos tal que
converge. Determine quais das seguintes séries necessariamente convergem (com prova), e quais podem tanto convergir quanto divergir dependendo da escolha de
(com exemplos).
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Passo 1
A questão apresenta uma sequência não‐negativa
com
e pede para decidir, usando noções de teste de comparação e desigualdades clássicas, quais das séries abaixo convergem sempre e quais podem divergir dependendo de
:
Conteúdo: séries numéricas, testes de comparação, desigualdade de AM–GM e p‐séries.
Conteúdo: séries numéricas, testes de comparação, desigualdade de AM–GM e p‐séries.
Passo 2
Como
converge e os termos são não‐negativos, temos
. Logo, existe
tal que para todo
vale
. Então, para
temos
opondo um resto da série
a um resto convergente de
. Assim
converge por comparação.
Passo 3
Para
não existe comparação única porque
quando
. Exemplos:
- Divergência: escolha
. Então e diverge (série harmônica). - Convergência: escolha
. Então e converge (p‐série com ).
Passo 4
Para
usamos AM–GM no termo geral:
Dividindo por 2, obtemos
Somando em
até
:
Portanto essa série também converge sempre.
Resposta
- A série
converge necessariamente. - A série
pode divergir (por exemplo ) ou convergir (por exemplo ). - A série
converge necessariamente.