Resolva os seguintes PVIs. Verifique se a solução é única, se for única determine o intervalo onde acontece a unicidade. Justifique cada cálculo.
Passo 1
O problema é um PVI de primeira ordem dado por ((1/(1+y²) + cos x - 2 x y)) (dy/dx) = y(y + sin x) com condição inicial y(0)=1. O conteúdo envolve transformar em forma normal dy/dx = f(x,y) e aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf para existência e unicidade.
Passo 2
Isolamos dy/dx dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica dy/dx. Assim obtemos:
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf precisamos que f e ∂f/∂y sejam contínuas numa vizinhança de (x₀,y₀)=(0,1). Primeiro verificamos o denominador em (0,1):
Passo 4
Como f é razão de funções diferenciáveis cujo denominador não se anula, conclui-se que ∂f/∂y também é contínua numa vizinhança de (0,1). Logo todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Passo 5
Podemos então afirmar que existe uma única solução local do PVI num retângulo |x|<a, |y-1|<b onde o denominador permanece ≠0. Por exemplo, escolhendo b=1 e a=min(π/3,1/4), temos para |x|<a:
• 1/(1+y²) ≥ 1/2 pois |y-1|<1 ⇒ y∈(0,2).
• cos x ≥ 1/2 pois |x|<π/3.
• 2|x y| ≤ 2a(1+b) <1 pois a≤1/4 e b=1.
Então o denominador ≥1/2+1/2−1 =0>0, garantindo unicidade.
• 1/(1+y²) ≥ 1/2 pois |y-1|<1 ⇒ y∈(0,2).
• cos x ≥ 1/2 pois |x|<π/3.
• 2|x y| ≤ 2a(1+b) <1 pois a≤1/4 e b=1.
Então o denominador ≥1/2+1/2−1 =0>0, garantindo unicidade.
Passo 6
Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, a solução inicial y(0)=1 é única e está definida, pelo menos, no intervalo |x|<min(π/3,1/4).
Resposta
Existe solução única localmente. Um intervalo em que a unicidade está garantida é |x|<min(π/3,1/4).