Resolva as equações diferenciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve funções de
e
. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais não-lineares, especificamente a Equação de Bernoulli. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Podemos organizar assim:
Essa forma nos ajuda a identificar o tipo de equação que estamos lidando.
Passo 3
Observando a equação:
Notamos que ela se encaixa na Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso:
Passo 4
A Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir:
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão para
:
Lembrando que
, podemos substituir:
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, usamos o Fator Integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo fica:
Para o lado direito, usamos integração por partes. Seja:
Aplicando a integração por partes:
Então:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertemos para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração que pode ser determinada a partir de uma condição inicial, se fornecida.