(10,0) Resolva as equações diferenciais
d yd x+y^3 x+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma equação diferencial para resolver:
dydx + y^3x + y = 0
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve funções de e . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais não-lineares, especificamente a Equação de Bernoulli. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
dydx + y + x y^3 = 0
Podemos organizar assim:
dydx = -y - x y^3
Essa forma nos ajuda a identificar o tipo de equação que estamos lidando.

Passo 3

Observando a equação:
dydx = -y - x y^3
Notamos que ela se encaixa na Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso:

Passo 4

A Equação de Bernoulli pode ser transformada em uma equação linear fazendo uma substituição. Vamos definir:
z = y^1 - n = y^-2
Agora, vamos encontrar a derivada de dzdx = -2 y^-3 dydx em relação a :

Passo 5

Substituindo dzdx = -2 y^-3 (-y - x y^3) = 2 y^-2 + 2 x da equação original na expressão para dzdx = 2 z + 2 x:
dzdx - 2 z = 2 x
Lembrando que , podemos substituir:
Agora, temos uma equação linear em termos de :

Passo 6

Para resolver essa equação linear, usamos o Fator Integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x é dado por:
e^-2x dzdx - 2 e^-2x z = 2 x e^-2x
Multiplicando toda a equação por ddx ( e^-2x z ) = 2 x e^-2x:
Isso simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx ( e^-2x z ) dx = integral 2 x e^-2x dx:
e^-2x z
O lado esquerdo fica:
integral 2x e^-2x dx = -x e^-2x + 12 e^-2x + C
Para o lado direito, usamos integração por partes. Seja:
  • e^-2x z = -x e^-2x + 12 e^-2x + C
Aplicando a integração por partes:
Então:

Passo 8

Agora, isolamos z = -x + 12 + C e^2x:
y^-2 = -x + 12 + C e^2x
Lembrando que y = pm 1raiz -x + 12 + C e^2x , substituímos de volta:
Invertemos para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = pm 1raiz 12 - x + C e^2x
Onde é a constante de integração que pode ser determinada a partir de uma condição inicial, se fornecida.

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