Resolva as equações diferenciais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais exatas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Chamamos essas funções de
e
, respectivamente:
Para ver se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Vimos que
Isso confirma que a equação é exata e podemos prosseguir para encontrar uma função potencial
.
Passo 4
A ideia é encontrar
tal que:
Começamos integrando
em relação a
:
onde
é uma função que só depende de
.
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos usar a condição que
:
Igualando:
Integrando
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta em
:
Podemos reorganizar para deixar a solução mais clara:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante.