(10,0) Resolva as equações diferenciais
(1+e^x y+x e^x y) d x+(x e^x+2) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação
(1 + e^x y + x e^x y) dx + (x e^x + 2) dy = 0
Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais exatas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam M(x, y) = 1 + e^x y + x e^x y, N(x, y) = x e^x + 2 e . Chamamos essas funções de e , respectivamente:
Para ver se a equação é exata, precisamos verificar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = e^x + x e^x,
partial Npartial x = e^x + x e^x
Vimos que
partial Mpartial y = partial Npartial x
Isso confirma que a equação é exata e podemos prosseguir para encontrar uma função potencial .

Passo 4

A ideia é encontrar partial Fpartial x = M(x, y), tal que:
partial Fpartial y = N(x, y)
F(x, y) = integral (1 + e^x y + x e^x y) dx + h(y),
Começamos integrando integral 1 , dx = x, em relação a integral e^x y , dx = y e^x, :
integral x e^x y , dx = y (x e^x - e^x)
onde F(x, y) = x + y e^x + y (x e^x - e^x) + h(y) = x + y x e^x + h(y) é uma função que só depende de .
Integrando termo a termo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos usar a condição que partial Fpartial y = x e^x + h'(y) = x e^x + 2 :
x e^x + h'(y) = x e^x + 2 implies h'(y) = 2
Igualando:
h(y) = 2 y + C,
Integrando :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo F(x, y) = x + y x e^x + 2 y = C de volta em x + y (1 + x) e^x + 2 y = C :
Podemos reorganizar para deixar a solução mais clara:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
x + y (1 + x) e^x + 2 y = C,
onde é uma constante.

Exercícios relacionados