Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
  1. integral x^2 ln (1+x) d x
  2. integral tan ^-1(x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois integrais indefinidos usando séries de potências e descobrir o raio de convergência para cada um. Primeiro, vamos precisar conhecer séries de potências e como integrá-las termo a termo. Vamos começar com o primeiro integral: integral x^2 ln (1+x) , dx.

Passo 2

Para resolver integral x^2 ln (1+x) , dx, vamos utilizar a expansão em série de potências da função ln(1+x). Sabemos que:
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn para |x| < 1

Passo 3

Multiplicamos a série por x^2:
x^2 ln(1+x) = x^2 sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+2n

Passo 4

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral x^2 ln(1+x) , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1 1n integral x^n+2 , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+3n(n+3) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série original de ln(1+x) converge para |x| < 1. Multiplicar por x^2 não altera o raio de convergência, então a série resultante também converge para |x| < 1.

Passo 6

Agora, vamos resolver o segundo integral: integral tan^-1(x)x , dx. Para isso, vamos utilizar a série de potências da função tan^-1(x) e integrar termo a termo.

Passo 7

A expansão em série de potências de tan^-1(x) é:
tan^-1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 para |x| <= 1

Passo 8

Dividimos a série por x:
tan^-1(x)x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2n+1

Passo 9

Integramos termo a termo:
integral tan^-1(x)x , dx = sumn=0^infty (-1)^n 12n+1 integral x^2n , dx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 10

O raio de convergência da série de tan^-1(x) é 1, e dividir por x não altera isso. Portanto, a série resultante também converge para |x| <= 1.

Resposta

A integral integral tan^-1(x)x , dx pode ser expressa como:
sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)^2 + C
e seu raio de convergência é 1.

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