Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
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Passo 1
Beleza, vamos resolver dois integrais indefinidos usando séries de potências e descobrir o raio de convergência para cada um. Primeiro, vamos precisar conhecer séries de potências e como integrá-las termo a termo. Vamos começar com o primeiro integral:
.
Passo 2
Para resolver
, vamos utilizar a expansão em série de potências da função
. Sabemos que:
Passo 3
Multiplicamos a série por
:
Passo 4
Agora, vamos integrar termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série original de
converge para
. Multiplicar por
não altera o raio de convergência, então a série resultante também converge para
.
Passo 6
Agora, vamos resolver o segundo integral:
. Para isso, vamos utilizar a série de potências da função
e integrar termo a termo.
Passo 7
A expansão em série de potências de
é:
Passo 8
Dividimos a série por
:
Passo 9
Integramos termo a termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
O raio de convergência da série de
é
, e dividir por
não altera isso. Portanto, a série resultante também converge para
.
Resposta
A integral
pode ser expressa como:
e seu raio de convergência é
.