10.18 Gasolina é bombeada por uma bomba centrífuga. Quando a vazão em volume é 375 gpm , a bomba requer 19,3 \mathrm{hp} e sua eficiência é 81,2 \%. Calcule o aumento de pressão produzido pela bomba. Expresse este resultado como (a) pés de água e (b) pés de gasolina.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o aumento de pressão produzido por uma bomba centrífuga, dado que: a vazão volumétrica é 375 gpm, a potência requerida pela bomba é 19,3 hp e a eficiência é 81,2\%.
As perguntas são: (a) expressar o aumento de pressão em pés de água; (b) expressar o aumento de pressão em pés de gasolina.
Informações relevantes dadas: Q=375 gpm, P_{\text{shaft}}=19,3 hp, \eta=81,2\%.

Passo 2

Entendendo o que é potência hidráulica e eficiência (aula rápida): a bomba entrega uma potência hidráulica P_{\text{hyd}} ao fluido; parte da potência do eixo P_{\text{shaft}} é transformada em energia do fluido, e a eficiência \eta relaciona as duas quantidades por
P_{\text{hyd}}=\eta\,P_{\text{shaft}}.
Aqui P_{\text{shaft}} está em cavalo-vapor ( \mathrm{hp}). Para usar unidades de comprimento (pés) e peso (libras), convertemos potência para \mathrm{lb\cdot ft/s} usando 1\\ \mathrm{hp}=550\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}. Vou calcular P_{\text{hyd}} em \mathrm{ft\cdot lb/s}.

Passo 3

Cálculo da potência hidráulica disponível ao fluido:
P_{\text{hyd}}=\eta\,P_{\text{shaft}}=0{,}812\times19{,}3=15{,}6716\\ \mathrm{hp}.
Convertendo para \mathrm{ft\cdot lb/s}:
P_{\text{hyd}}=15{,}6716\times550=8619{,}38\\ \mathrm{ft\cdot lb/s}.

Passo 4

Converter a vazão Q de \mathrm{gpm} para \mathrm{ft^3/s}. Sabendo que 1 galão (EUA) =0{,}1336805556\\ \mathrm{ft^3},
Q=375\\ \mathrm{gpm}=375\times0{,}1336805556\\ \mathrm{ft^3/min}=50{,}13020835\\ \mathrm{ft^3/min}.
Agora dividir por 60 para obter \mathrm{ft^3/s}:
Q=\frac{50{,}13020835}{60}=0{,}8355034725\\ \mathrm{ft^3/s}.

Passo 5

Relação entre potência hidráulica, vazão, peso específico e altura (cabeça) do fluido: a potência hidráulica é dada por
P_{\text{hyd}}=\gamma\,Q\,H,
onde \gamma é o peso específico do fluido em \mathrm{lb/ft^3}, Q em \mathrm{ft^3/s} e H em pés. Rearranjando para H:
H=\frac{P_{\text{hyd}}}{\gamma\,Q}.
Para pés de água usamos o peso específico da água \gamma_{\text{água}}=62{,}4\\ \mathrm{lb/ft^3}á. Vou calcular H em pés de água.

Passo 6

Cálculo de H em pés de água:
\gamma_{\text{água}}\,Q=62{,}4\times0{,}8355034725=52{,}13541684\\ \mathrm{lb/s}.á
Então
H_{\text{água}}=\frac{8619{,}38}{52{,}13541684}=165{,}3268\\ \text{pés (aprox.)}.áé
Arredondando razoavelmente: H_{\text{água}}\approx165{,}33á pés de água.

Passo 7

Passando para pés de gasolina: a cabeça H depende da pressão dividida pelo peso específico, então para outro líquido
H_{\text{gasolina}}=\frac{\Delta p}{\gamma_{\text{gasolina}}}.
Mas \Delta p=\gamma_{\text{água}}H_{\text{água}}áá, logo
H_{\text{gasolina}}=\frac{\gamma_{\text{água}}}{\gamma_{\text{gasolina}}}\,H_{\text{água}}=\frac{H_{\text{água}}}{\text{SG}},ááá
onde \text{SG} é a gravidade específica da gasolina ( \text{SG}=\gamma_{\text{gasolina}}/\gamma_{\text{água}}á). Neste tipo de problema costuma-se assumir uma gravidade específica típica da gasolina; vou usar \text{SG}=0{,}70 (valor comum em problemas e consistente com gasolina leve). Então
H_{\text{gasolina}}=\frac{165{,}3268}{0{,}70}=236{,}1800\\ \text{pés (aprox.)}.é
Arredondando: H_{\text{gasolina}}\approx236{,}18 pés de gasolina (ou 236{,}2 pés se preferir uma casa decimal).

Resposta

(a) 165{,}33\\ \text{pés de água}éá
(b) 236{,}18\\ \text{pés de gasolina}é

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