10 Sabe-se que o vetor v é ortogonal aos vetores (1,1,0) e ( -1,0,1 ). Além disso, |v|=2 e se theta é o ângulo entre os vetores v e ( 0,1,0 ), então cos (theta)>0. Determine o vetor v.

Passo 1

O enunciado diz que v é ortogonal a (1,1,0) e a (-1,0,1), tem norma |v|=2 e, se theta é o ângulo entre v e (0,1,0), então cos(theta)>0. Vamos usar produto vetorial para garantir ortogonalidade, depois ajustar o escalar para a norma e por fim aplicar a condição do cosseno.

Passo 2

Sejam w=(1,1,0) e u=(-1,0,1). Um vetor ortogonal a ambos é
wtimesu
Qualquer múltiplo escalar desse produto também será ortogonal aos dois.

Passo 3

Calculando o produto vetorial:
wtimesu =det i&j&k 1&1&0 -1&0&1 =(1,-1,1)
Logo podemos escrever v=t,(1,-1,1) para algum tinR.

Passo 4

Impondo |v|=2:
|t(1,-1,1)|=|t|raiz1^2+(-1)^2+1^2=|t|raiz3=2 Longrightarrow |t|=2raiz3=2raiz33
Assim t=pm2raiz33.

Passo 5

Da definição de cosseno,
cos(theta) =vcdot(0,1,0)|v|cdot|(0,1,0)| =vy2
Queremos cos(theta)>0Rightarrow vy>0.
  • Se t=+tfrac2raiz33, então vy=-tfrac2raiz33<0, rejeitamos.
  • Se t=-tfrac2raiz33, então vy=+tfrac2raiz33>0, satisfaz.

Resposta

v=l(-tfrac2raiz33,;tfrac2raiz33,;-tfrac2raiz33r)

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