Seja
uma matriz real simétrica
, com valores próprios
, e, para
, defina a função
(1.5 valores)
(a) Prove que
para todo o
.
(b) Mostre, a partir do resultado da alínea anterior, que
(c) Seja agora
uma matriz real simétrica
, e defina
. Mostre que se
for positivo, então existe
tal que a função
define um produto interno em
para
maior que
.
(d) Se não for assumido que
é positivo, poderá existir um valor de
nas condições da alínea anterior?
(a) Prove que
(b) Mostre, a partir do resultado da alínea anterior, que
(d) Se não for assumido que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz real simétrica
com autovalores
e define o quociente de Rayleigh
(a) pede que mostremos que para todo
vale
.
(b) que a mínima vale exatamente .
(c) introduz outra simétrica e
, e quer que provemos que, se
, existe
tal que para
a forma bilinear
(b) que a mínima vale exatamente
(c) introduz outra simétrica
é um produto interno.
(d) pergunta se sem ainda pode existir tal
.
(d) pergunta se sem
Passo 2
Pela teoria espectral, como
é simétrica, existe base ortonormal
com
Escrevendo
, temos
Logo
é uma combinação convexa dos
.
Passo 3
De propriedades de médias ponderadas, qualquer combinação convexa de
satisfaz
Isto prova a parte (a): para todo
tem-se
Passo 4
Para (b), note que se eu escolher
então
e todos os outros
, de modo que
Como por (a) não há valor menor que
, segue que
Passo 5
Passando \u00e0 parte (c), define-se
Ent~ao a forma de
\u00e9
Pelo resultado anterior sabe-se que
(menor autovalor de
) e
. Logo
Se escolhermos
ent~ao para todo
temos
, isto \u00e9,
Isto mostra que
\u00e9 positiva-definida e, como \u00e9 sim\u00e9trica, a forma bilinear
\u00e9 um verdadeiro produto interno em .
\u00e9 um verdadeiro produto interno em
Passo 6
Na alínea (d), se
, então
e, pelo mesmo argumento,
pode ficar sempre não-positivo (ou mesmo tender a
se
), não importando o quão grande seja
. Dessa forma não existe
garantindo positividade de
para todo
.
Resposta
(a) Para todo
vale
(b)
(c) Se , basta escolher
(com autovalor de
) para que
seja produto interno para
.
(d) Se , em geral não existe tal
.
(b)
(c) Se
(com
(d) Se