Seja H uma matriz real simétrica n times n, com valores próprios lambda1 <= ldots <= lambdan, e, para x neq 0, defina a função
q(x)=x^t H xx^t x
(1.5 valores)
(a) Prove que lambda1 <= q(x) <= lambdan para todo o x neq 0.
(b) Mostre, a partir do resultado da alínea anterior, que
lambda1=min x neq 0 q(x)
(c) Seja agora G uma matriz real simétrica n times n, e defina Ptau=G+tau H. Mostre que se lambda1 for positivo, então existe T tal que a função ftau(u, v)=u^t Palpha v define um produto interno em R^n para tau maior que T.
(d) Se não for assumido que lambda1 é positivo, poderá existir um valor de T nas condições da alínea anterior?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz real simétrica HinR^ntimes n com autovalores
lambda1<=lambda2<=cdots<=lambdan
e define o quociente de Rayleigh
q(x)=x^tHxx^tx, xneq0
(a) pede que mostremos que para todo xneq0 vale
lambda1<= q(x)<=lambdan.
(b) que a mínima vale exatamente lambda1.
(c) introduz outra simétrica G e Ptau=G+tau H, e quer que provemos que, se lambda1>0, existe T tal que para tau>T a forma bilinear
ftau(u,v)=u^tPtauv
é um produto interno.
(d) pergunta se sem lambda1>0 ainda pode existir tal T.

Passo 2

Pela teoria espectral, como H é simétrica, existe base ortonormal u1,dots,un com
H,ui=lambdaiui
Escrevendo x=sumi=1^nciui, temos
x^tHx=sumi=1^nlambdaici^2, x^tx=sumi=1^nci^2
Logo
q(x) =sumi=1^nlambdaici^2sumi=1^nci^2
é uma combinação convexa dos lambdai.

Passo 3

De propriedades de médias ponderadas, qualquer combinação convexa de lambda1,dots,lambdan satisfaz
lambda1<= sumi=1^nlambdaici^2sumi=1^nci^2 <=lambdan
Isto prova a parte (a): para todo xneq0 tem-se
lambda1<= q(x)<=lambdan

Passo 4

Para (b), note que se eu escolher x=u1 então c1neq0 e todos os outros ci=0, de modo que
q(u1) =u1^tHu1u1^tu1 =lambda1|u1|^2|u1|^2 =lambda1
Como por (a) não há valor menor que lambda1, segue que
minxneq0q(x)=lambda1

Passo 5

Passando \u00e0 parte (c), define-se
Ptau=G+tau H, qG(x)=x^tGxx^tx, qH(x)=x^tHxx^tx
Ent~ao a forma de Ptau \u00e9
qPtau(x) =x^tPtauxx^tx =qG(x)+tau,qH(x)
Pelo resultado anterior sabe-se que min qG=mu1 (menor autovalor de G) e min qH=lambda1>0. Logo
minxneq0qPtau(x) >=mu1+tau,lambda1
Se escolhermos
T=-mu1lambda1,
ent~ao para todo tau>T temos mu1+taulambda1>0, isto \u00e9,
x^tPtaux>0 forall xneq0
Isto mostra que Ptau \u00e9 positiva-definida e, como \u00e9 sim\u00e9trica, a forma bilinear
ftau(u,v)=u^tPtauv
\u00e9 um verdadeiro produto interno em R^n.

Passo 6

Na alínea (d), se lambda1<=0, então min qH<=0 e, pelo mesmo argumento,
min qPtau(x);>=;mu1+tau,lambda1
pode ficar sempre não-positivo (ou mesmo tender a -infty se lambda1<0), não importando o quão grande seja tau. Dessa forma não existe T garantindo positividade de x^tPtaux para todo xneq0.

Resposta

(a) Para todo xneq0 vale lambda1<= q(x)<=lambdan
(b) minxneq0q(x)=lambda1
(c) Se lambda1>0, basta escolher
T=-mu1/lambda1
(com mu1=min autovalor de G) para que ftau(u,v)=u^t(G+tau H)v seja produto interno para tau>T.
(d) Se lambda1<=0, em geral não existe tal T.

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