Seja y=(yn)n in ellinfty. Defina My: ell2 ell2 por My(x)=(xn yn)n. Mostre que My é limitado com |My|=|y|. Mostre ainda que My^*=Mbary.

Passo 1

O enunciado define uma sequência y=(yn)ninellinfty (ou seja, |y|infty=supn|yn|<infty) e o operador
My:ell2toell2, My(x)=(xn,yn)n
Precisamos mostrar que My é limitado (ou seja, contínuo), calcular seu operador norma e, por fim, identificar seu adjunto My^*.

Passo 2

Para todo x=(xn)ninell2 temos
|My(x)|2^2=sumn=1^infty|xn,yn|^2 <=sumn=1^infty|xn|^2;|y|infty^2 =|y|infty^2sumn=1^infty|xn|^2 =|y|infty^2,|x|2^2
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|My(x)|2<=|y|infty,|x|2,
o que mostra que My é limitado e que
|My|<=|y|infty

Passo 3

Para obter a igualdade de norma, note que existe uma subsequência
Então com , segue
Combinando com a desigualdade do Passo 2 conclui-se

Passo 4

Para verificar o adjunto, use o produto interno em ell2:
lang<= My x,zrang<= =sumn=1^infty(xn,yn),zn =sumn=1^infty xn;l(overlineyn,znr) =llang<= x,;Moverline yzrrang<=
Isso mostra que My^*=Moverline y.

Resposta

My é um operador limitado em ell2 com
|My|=|y|infty,
e seu adjunto é
My^* = Moverline y

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