Seja
o espaço vectorial das sucessões de números complexos com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar: dados
, define-se
Considere o subconjunto
de
definido por
.
a) Mostre que
é um subespaço de
.
b) Considere a transformação linear
definida por
Mostre que qualquer
tal que
é valor próprio de
e determine os respectivos vectores próprios.
c) Mostre que não existem valores próprios de
que verifiquem
.
d) Considere agora a transformação linear
definida por
Mostre que
não possui valores próprios.
a) Mostre que
b) Considere a transformação linear
c) Mostre que não existem valores próprios de
d) Considere agora a transformação linear
Passo 1
O enunciado trata do espaço vetorial
de todas as sucessões complexas e de seu subespaço
(a) Mostrar que
é subespaço de
.
(b) Para o operador de turno à esquerda
(b) Para o operador de turno à esquerda
mostrar que todo
com
é valor próprio e encontrar os vetores próprios.
(c) Provar que não há valores próprios com .
(d) Para o operador de turno à direita
(c) Provar que não há valores próprios com
(d) Para o operador de turno à direita
mostrar que não existem valores próprios.
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço temos de verificar:
- O vetor zero está em
, pois . - Fechamento sob adição: se
, então usando a desigualdade triangular e a finitude das duas somas. - Fechamento sob multiplicação escalar: se
e ,
Logo
é subespaço de
.
Passo 3
Procuramos
e
tais que
Escrevendo
, a igualdade em cada coordenada dá
Por indução segue
Passo 4
Para
é necessário
convergir. Sabemos que a série geométrica converge se, e somente se,
, e então
Concluímos que, para todo
com
, existe vetor próprio não nulo
com
arbitrário.
Passo 5
Se
, a soma
diverge, de modo que a única solução em
é
, o que leva a
. Não há, portanto, vetor próprio não trivial e logo não há valor próprio com
.
Passo 6
Para
temos, na primeira coordenada,
Na segunda,
e assim por diante, forçando
para todo
. Não há vetor próprio não-nulo, logo
não possui valores próprios.
Resposta
(a)
é subespaço de
.
(b) Os valores próprios de são todos os
com
, e os vetores próprios são as sucessões geométricas
,
.
(c) Não existem valores próprios de com
.
(d) O operador não possui valores próprios.
(b) Os valores próprios de
(c) Não existem valores próprios de
(d) O operador