Seja V(C) o espaço vectorial das sucessões de números complexos com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar: dados z=(z1, z2, z3, ldots) in V(C), w=(w1, w2, w3, ldots) in V(C), define-se
r z+w=(z1+w1, z2+w2, z3+w3, ldots) alpha z=(alpha z1, alpha z2, alpha z3, ldots), para alpha in C
Considere o subconjunto ell^1(C) de V(C) definido por ell^1(C)=z in V(C): sumn=1^infty|zn|<+infty.
a) Mostre que ell^1(C) é um subespaço de V(C).
b) Considere a transformação linear T: ell^1(C) ell^1(C) definida por
T((z1, z2, z3, ldots))=(z2, z3, z4, ldots)
Mostre que qualquer lambda in C tal que |lambda|<1 é valor próprio de T e determine os respectivos vectores próprios.
c) Mostre que não existem valores próprios de T que verifiquem |lambda| >= 1.
d) Considere agora a transformação linear S: ell^1(C) ell^1(C) definida por
S((z1, z2, z3, ldots))=(0, z1, z2, ldots)
Mostre que S não possui valores próprios.

Passo 1

O enunciado trata do espaço vetorial V(C) de todas as sucessões complexas e de seu subespaço
ell^1(C) = l(z1,z2,dots)in V(C) mid sumn=1^infty|zn|<+inftyr
(a) Mostrar que ell^1(C) é subespaço de V(C).
(b) Para o operador de turno à esquerda
T(z1,z2,z3,dots) = (z2,z3,z4,dots),
mostrar que todo lambdainC com |lambda|<1 é valor próprio e encontrar os vetores próprios.
(c) Provar que não há valores próprios com |lambda|>=1.
(d) Para o operador de turno à direita
S(z1,z2,z3,dots) = (0,z1,z2,dots),
mostrar que não existem valores próprios.

Passo 2

Para mostrar que ell^1(C) é subespaço temos de verificar:
  1. O vetor zero está em ell^1(C), pois sum|0|=0<infty.
  2. Fechamento sob adição: se z,winell^1(C), então sumn=1^infty|zn+wn|<= sumn=1^infty(|zn|+|wn|) =sumn=1^infty|zn|+sumn=1^infty|wn|<infty, usando a desigualdade triangular e a finitude das duas somas.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se alphainC e zinell^1(C), sumn=1^infty|alpha zn| = |alpha|sumn=1^infty|zn| < infty
Logo ell^1(C) é subespaço de V(C).

Passo 3

Procuramos zneq0 e lambda tais que
T(z) = lambda z
Escrevendo z=(z1,z2,z3,dots), a igualdade em cada coordenada dá
z2 = lambda z1, z3 = lambda z2,ldots, zn+1=lambda zn
Por indução segue
zn = z1,lambda^,n-1, n>=1

Passo 4

Para zinell^1(C) é necessário
sumn=1^infty|zn| = |z1|sumn=0^infty|lambda|^n
convergir. Sabemos que a série geométrica converge se, e somente se, |lambda|<1, e então
sumn=0^infty|lambda|^n = 11-|lambda|<infty
Concluímos que, para todo lambda com |lambda|<1, existe vetor próprio não nulo
z = l(z1,,z1lambda,,z1lambda^2,dotsr),
com z1neq0 arbitrário.

Passo 5

Se |lambda|>=1, a soma
sumn=0^infty|lambda|^n diverge, de modo que a única solução em ell^1(C) é z1=0, o que leva a z=0. Não há, portanto, vetor próprio não trivial e logo não há valor próprio com |lambda|>=1.

Passo 6

Para S(z)=lambdaz temos, na primeira coordenada,
0 = lambda z1 implies z1=0
Na segunda,
z1= lambda z2 implies z2=0,
e assim por diante, forçando zn=0 para todo n. Não há vetor próprio não-nulo, logo S não possui valores próprios.

Resposta

(a) ell^1(C) é subespaço de V(C).
(b) Os valores próprios de T são todos os lambdainC com |lambda|<1, e os vetores próprios são as sucessões geométricas
l(z1,z1lambda,z1lambda^2,dotsr), z1neq0.
(c) Não existem valores próprios de T com |lambda|>=1.
(d) O operador S não possui valores próprios.

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