10-Seja
analitica. Diga porque
também é analitica. Mostre que, por conseguinte se u e v são funções harmônicas conjugadas, então u e -v tambem o são.
Passo 1
Enunciado e dados claros: foi dada uma função complexa cuja parte real e imaginária são
e
, respectivamente, e sabe-se que
é analítica. O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
também é uma função analítica. - Concluir, a partir disso, que se
e são funções harmônicas conjugadas então e também o são.
Informações relevantes dadas:
- A função
é analítica (em uma região, implicando derivadas parciais contínuas e validade das equações de Cauchy–Riemann). - Quer-se provar analiticidade de outra combinação linear das mesmas componentes reais e imaginárias.
Passo 2
Pequena aula (conceitos necessários).
- Uma função complexa
é analítica se é diferenciável em cada ponto de uma região aberta. Uma condição prática e muito usada é: se e têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann então é analítica. - As equações de Cauchy–Riemann (CR) são
onde
,
, etc.
- Se
é analítica então e são harmonicamente funcionais, isto é, satisfazem a equação de Laplace:
Vou usar essas ideias: (i) multiplicação por constante complexa preserva analiticidade, e (ii) verificar diretamente as CR para a nova função fornece justificativa alternativa.
Passo 3
Argumento curto e direto usando álgebra complexa (método preferido).
- Considere
(analítica por hipótese). Multiplicar por a constante complexa dá
- Multiplicar uma função analítica por uma constante complexa mantém a analiticidade: se
é diferenciável em então tem derivada ; assim é analítica. Aplicando com obtemos que é analítica.
Explicando por que
: pela definição de derivada,
Passo 4
Verificação alternativa e didática usando as equações de Cauchy–Riemann (útil para a prova, caso queiram ver tudo “na caneta”).
- Defina
e . Queremos mostrar que satisfaz CR. - Calcule as parciais:
- Usando as equações CR originais
e concluímos
e
- Assim
e , ou seja, e satisfazem CR; portanto é analítica. Esse cálculo é puramente de manipulação de derivadas parciais e costuma ser pedido em provas para deixar claro que a combinação funciona.
Passo 5
Sobre harmonicidade e como concluir a segunda parte.
- Se
é analítica então, como disse, e são harmônicas: e . Um pequeno lembrete de por que: derive as CR em e e recombine (por exemplo, e , somando dá zero), assumindo continuidade das segundas derivadas. - Para
e temos
e
já sabemos que é harmônica porque
. Portanto
e
são harmônicas.
- Já demonstramos em Passo 4 que
e satisfazem CR. Assim e são harmônicas conjugadas, i.e., e são conjugadas. Reescrevendo a frase do enunciado: e também formam um par de funções harmônicas conjugadas (no sentido que uma é conjugada da outra — equivalente à afirmação de que é analítica).
Passo 6
Resumo final do raciocínio (como fazer rápido na prova).
- Se
é analítica então basta observar que e multiplicação por preserva analiticidade; logo é analítica. - Como consequência, as mesmas relações CR e a harmonicidade se transferem, mostrando que o par
(ou dito de outro modo: e ) são funções harmônicas conjugadas.
Resposta
Portanto, se