10-Seja u+i v analitica. Diga porque -v+i u também é analitica. Mostre que, por conseguinte se u e v são funções harmônicas conjugadas, então u e -v tambem o são.

Passo 1

Enunciado e dados claros: foi dada uma função complexa cuja parte real e imaginária são u e v, respectivamente, e sabe-se que u+i v é analítica. O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que -v+i u também é uma função analítica.
  • Concluir, a partir disso, que se u e v são funções harmônicas conjugadas então u e -v também o são.
Informações relevantes dadas:
  • A função f(z)=u(x,y)+i v(x,y) é analítica (em uma região, implicando derivadas parciais contínuas e validade das equações de Cauchy–Riemann).
  • Quer-se provar analiticidade de outra combinação linear das mesmas componentes reais e imaginárias.

Passo 2

Pequena aula (conceitos necessários).
  • Uma função complexa f(z)=u(x,y)+i v(x,y) é analítica se é diferenciável em cada ponto de uma região aberta. Uma condição prática e muito usada é: se u e v têm derivadas parciais contínuas e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann então f é analítica.
  • As equações de Cauchy–Riemann (CR) são
u_x = v_y
u_y = -v_x
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, etc.
  • Se f é analítica então u e v são harmonicamente funcionais, isto é, satisfazem a equação de Laplace:
u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad v_{xx}+v_{yy}=0.
Vou usar essas ideias: (i) multiplicação por constante complexa preserva analiticidade, e (ii) verificar diretamente as CR para a nova função fornece justificativa alternativa.

Passo 3

Argumento curto e direto usando álgebra complexa (método preferido).
  • Considere f(z)=u+i v (analítica por hipótese). Multiplicar f por a constante complexa i
i f(z)=i(u+i v)=i u + i^2 v = -v + i u.
  • Multiplicar uma função analítica por uma constante complexa mantém a analiticidade: se f é diferenciável em z então g(z)=c\,f(z) tem derivada g'(z)=c\,f'(z); assim g é analítica. Aplicando com c=i obtemos que -v+i u é analítica.
Explicando por que g'(z)=c f'(z): pela definição de derivada,
g'(z)=\lim_{h\to0}\frac{g(z+h)-g(z)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{c f(z+h)-c f(z)}{h} =c\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=c f'(z).

Passo 4

Verificação alternativa e didática usando as equações de Cauchy–Riemann (útil para a prova, caso queiram ver tudo “na caneta”).
  • Defina U(x,y)=-v(x,y) e V(x,y)=u(x,y). Queremos mostrar que G(z)=U+i V=-v+i u satisfaz CR.
  • Calcule as parciais:
U_x=-v_x,\qquad U_y=-v_y,\qquad V_x=u_x,\qquad V_y=u_y.
  • Usando as equações CR originais u_x=v_y e u_y=-v_x concluímos
U_x=-v_x = u_y = V_y
e
U_y=-v_y = -u_x = -V_x.
  • Assim U_x=V_y e U_y=-V_x, ou seja, U e V satisfazem CR; portanto G é analítica. Esse cálculo é puramente de manipulação de derivadas parciais e costuma ser pedido em provas para deixar claro que a combinação funciona.

Passo 5

Sobre harmonicidade e como concluir a segunda parte.
  • Se f=u+i v é analítica então, como disse, u e v são harmônicas: \,u_{xx}+u_{yy}=0 e \,v_{xx}+v_{yy}=0. Um pequeno lembrete de por que: derive as CR em x e y e recombine (por exemplo, u_{xx}=v_{yx} e u_{yy}=-v_{xy}, somando dá zero), assumindo continuidade das segundas derivadas.
  • Para U=-v e V=u temos
U_{xx}+U_{yy}=(-v)_{xx}+(-v)_{yy}=-(v_{xx}+v_{yy})=0,
e V já sabemos que é harmônica porque V=u. Portanto U e V são harmônicas.
  • Já demonstramos em Passo 4 que U e V satisfazem CR. Assim U e V são harmônicas conjugadas, i.e., -v e u são conjugadas. Reescrevendo a frase do enunciado: u e -v também formam um par de funções harmônicas conjugadas (no sentido que uma é conjugada da outra — equivalente à afirmação de que -v+i u é analítica).

Passo 6

Resumo final do raciocínio (como fazer rápido na prova).
  • Se f=u+i v é analítica então basta observar que i f=-v+i u e multiplicação por i preserva analiticidade; logo -v+i u é analítica.
  • Como consequência, as mesmas relações CR e a harmonicidade se transferem, mostrando que o par (-v,u) (ou dito de outro modo: u e -v) são funções harmônicas conjugadas.

Resposta

-v+i u é analítica.
Portanto, se u e v são funções harmônicas conjugadas então u e -v também o são.

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