6-Estabeleça a identidade
.
Passo 1
O enunciado pede para estabelecer a identidade
Informações dadas: os símbolos
e
são os argumentos das funções trigonométricas (podem ser números reais ou complexos). A tarefa é mostrar a igualdade acima (ou verificar se ela é verdadeira).
Passo 2
Primeiro teste simples para ver se a identidade faz sentido: vamos substituir
e
. Calculando cada lado:
E o lado direito é
Como
, a igualdade escrita no enunciado é falsa. Portanto, ou há um erro de digitação no enunciado, ou a intenção era outra identidade. Isso mostra que a forma dada não é a identidade correta para o cosseno da soma.
Passo 3
Vamos então apresentar a forma correta e mostrá-la rigorosamente. Para isso vamos usar uma ferramenta muito prática e elegante: a fórmula de Euler. Ela diz, para qualquer número (real ou complexo)
,
Aqui
é a unidade imaginária (
). A fórmula de Euler define e relaciona exponencial complexa, cosseno e seno. Uma consequência útil é que a exponencial é multiplicativa:
Vamos usar isso e, ao comparar partes real e imaginária, obter as fórmulas de soma para seno e cosseno.
Passo 4
Escrevendo
e
pelas suas partes real e imaginária:
Multiplicando membro a membro:
Agora expandimos o produto (faça como numa multiplicação de binômios; não pule etapas):
pois
.]
Passo 5
Por outro lado, pela fórmula de Euler aplicada à soma,
Comparando esta expressão com a que obtivemos no produto (elas são iguais porque
), podemos igualar as partes real e imaginária separadamente (dois números complexos são iguais se e somente se suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais). Assim obtemos duas identidades fundamentais:
parte real:
parte imaginária:
Passo 6
Interpretação final e resposta ao pedido original: a expressão que aparece no lado direito do enunciado,
é, na verdade, a fórmula de adição para o seno:
. Já a fórmula correta para o cosseno da soma é a que obtivemos na parte real. Portanto o enunciado original estava trocando as fórmulas de seno e cosseno.