6-Estabeleça a identidade \cos \left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{sen} z_{1} \cos z_{2}+\cos z_{1} \operatorname{sen} z_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para estabelecer a identidade
\cos\left(z_{1}+z_{2}\right)=\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\operatorname{sen} z_{2}.
Informações dadas: os símbolos z_{1} e z_{2} são os argumentos das funções trigonométricas (podem ser números reais ou complexos). A tarefa é mostrar a igualdade acima (ou verificar se ela é verdadeira).

Passo 2

Primeiro teste simples para ver se a identidade faz sentido: vamos substituir z_{1}=0 e z_{2}=0. Calculando cada lado:
\cos(0+0)=\cos 0=1.
E o lado direito é
\operatorname{sen}0\cos0+\cos0\operatorname{sen}0=0\cdot1+1\cdot0=0.
Como 1\neq0, a igualdade escrita no enunciado é falsa. Portanto, ou há um erro de digitação no enunciado, ou a intenção era outra identidade. Isso mostra que a forma dada não é a identidade correta para o cosseno da soma.

Passo 3

Vamos então apresentar a forma correta e mostrá-la rigorosamente. Para isso vamos usar uma ferramenta muito prática e elegante: a fórmula de Euler. Ela diz, para qualquer número (real ou complexo) z,
e^{i z}=\cos z + i\operatorname{sen} z.
Aqui i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). A fórmula de Euler define e relaciona exponencial complexa, cosseno e seno. Uma consequência útil é que a exponencial é multiplicativa:
e^{i(z_{1}+z_{2})}=e^{i z_{1}}e^{i z_{2}}.
Vamos usar isso e, ao comparar partes real e imaginária, obter as fórmulas de soma para seno e cosseno.

Passo 4

Escrevendo e^{i z_{1}} e e^{i z_{2}} pelas suas partes real e imaginária:
e^{i z_{1}}=\cos z_{1}+i\operatorname{sen} z_{1},\qquad e^{i z_{2}}=\cos z_{2}+i\operatorname{sen} z_{2}.
Multiplicando membro a membro:
e^{i z_{1}}e^{i z_{2}}=(\cos z_{1}+i\operatorname{sen} z_{1})(\cos z_{2}+i\operatorname{sen} z_{2}).
Agora expandimos o produto (faça como numa multiplicação de binômios; não pule etapas):
\begin{aligned} (\cos z_{1}+i\operatorname{sen} z_{1})(\cos z_{2}+i\operatorname{sen} z_{2}) &=\cos z_{1}\cos z_{2} +\cos z_{1}\cdot i\operatorname{sen} z_{2} +i\operatorname{sen} z_{1}\cdot\cos z_{2} +i\operatorname{sen} z_{1}\cdot i\operatorname{sen} z_{2}\\[6pt] &=\cos z_{1}\cos z_{2} +i\big(\cos z_{1}\operatorname{sen} z_{2}+\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}\big) +i^{2}\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen} z_{2}\\[6pt] &=\big(\cos z_{1}\cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen} z_{2}\big) +i\big(\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\operatorname{sen} z_{2}\big), \end{aligned}
pois i^{2}=-1.]

Passo 5

Por outro lado, pela fórmula de Euler aplicada à soma,
e^{i(z_{1}+z_{2})}=\cos\big(z_{1}+z_{2}\big)+i\operatorname{sen}\big(z_{1}+z_{2}\big).
Comparando esta expressão com a que obtivemos no produto (elas são iguais porque e^{i(z_{1}+z_{2})}=e^{i z_{1}}e^{i z_{2}}), podemos igualar as partes real e imaginária separadamente (dois números complexos são iguais se e somente se suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais). Assim obtemos duas identidades fundamentais:
parte real:
\cos\big(z_{1}+z_{2}\big)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen} z_{2},
parte imaginária:
\operatorname{sen}\big(z_{1}+z_{2}\big)=\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\operatorname{sen} z_{2}.

Passo 6

Interpretação final e resposta ao pedido original: a expressão que aparece no lado direito do enunciado,
\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\operatorname{sen} z_{2},
é, na verdade, a fórmula de adição para o seno: \operatorname{sen}(z_{1}+z_{2}). Já a fórmula correta para o cosseno da soma é a que obtivemos na parte real. Portanto o enunciado original estava trocando as fórmulas de seno e cosseno.

Resposta

\displaystyle \cos\big(z_{1}+z_{2}\big)=\cos z_{1}\cos z_{2}-\operatorname{sen} z_{1}\operatorname{sen} z_{2}
\displaystyle \operatorname{sen}\big(z_{1}+z_{2}\big)=\operatorname{sen} z_{1}\cos z_{2}+\cos z_{1}\operatorname{sen} z_{2}

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