7-Estabeleça a relação |\cos (x+i y)|^{2}-|\operatorname{sen}(x+i y)|^{2}=\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x,y reais, vale a igualdade
|\cos(x+iy)|^{2}-|\operatorname{sen}(x+iy)|^{2}=\cos 2x.
Informações dadas / contexto imediato:
  • A variável complexa é z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}.
  • Devemos trabalhar com as funções trigonométricas extendidas ao argumento complexo e com o módulo de números complexos.

Passo 2

Vamos escrever \cos(x+iy) em forma que exponha sua parte real e imaginária. Para isso usamos a definição exponencial:
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\qquad z=x+iy.
Calcule e^{iz} e e^{-iz}. Note que
iz = i(x+iy)=ix-y,
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e^{iz}=e^{ix-y}=e^{-y}e^{ix}=e^{-y}(\cos x + i\sin x),
e
e^{-iz}=e^{-ix+y}=e^{y}e^{-ix}=e^{y}(\cos x - i\sin x).
Agora some e divida por 2:
\cos(x+iy)=\frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)+e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2}.
Agrupando termos reais e imaginários e usando \operatorname{cosh} y=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2} e \operatorname{sinh} y=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}, obtemos
\cos(x+iy)=\cos x\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\operatorname{sinh} y.

Passo 3

De forma análoga, use a definição
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad z=x+iy.
Usando os mesmos e^{iz} e e^{-iz} do passo anterior:
\sin(x+iy)=\frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)-e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2i}.
Separando partes real e imaginária e simplificando com \operatorname{cosh} y e \operatorname{sinh} y, obtemos
\sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 4

Recorde: se um número complexo é a+ib com a,b\in\mathbb{R}, então o módulo ao quadrado é
|a+ib|^{2}=a^{2}+b^{2}.
Aplique isso às expressões obtidas:
  • Para \cos(x+iy)=\cos x\operatorname{cosh} y - i\sin x\operatorname{sinh} y, a parte real é a=\cos x\operatorname{cosh} y e a parte imaginária é b=-\sin x\operatorname{sinh} y. Então
|\cos(x+iy)|^{2}=(\cos x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\sin x\operatorname{sinh} y)^{2}.
  • Para \sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y, a parte real é a=\sin x\operatorname{cosh} y e a parte imaginária é b=\cos x\operatorname{sinh} y. Então
|\sin(x+iy)|^{2}=(\sin x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}.

Passo 5

Subtraia as duas expressões:
\begin{aligned} &\;|\cos(x+iy)|^{2}-|\sin(x+iy)|^{2} \\\ ={}&\;(\cos x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\sin x\operatorname{sinh} y)^{2} - \big[(\sin x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}\big]. \end{aligned}
Agrupe termos com \cos^{2}x e \sin^{2}x:
\begin{aligned} &=(\cos^{2}x)(\operatorname{cosh}^{2}y)-(\cos^{2}x)(\operatorname{sinh}^{2}y) +(\sin^{2}x)(\operatorname{sinh}^{2}y)-(\sin^{2}x)(\operatorname{cosh}^{2}y)\\\ &=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y). \end{aligned}

Passo 6

Use duas identidades fundamentais:
  • Para hiperbólicas: \operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y=1. (Isto segue de \operatorname{cosh} y=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2} e \operatorname{sinh} y=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}, porque ao calcular as diferenças os termos exponenciais se cancelam deixando 1.)
  • Para trigonométricas de ângulo duplo: \cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos 2x.
    Aplicando-as à expressão do passo anterior obtemos
|\cos(x+iy)|^{2}-|\sin(x+iy)|^{2}=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)\cdot 1=\cos 2x.

Passo 7

Portanto a identidade está demonstrada para todo x,y\in\mathbb{R}. Boa! Se você ficar com dúvida em algum passo (por exemplo em como separar parte real/imaginar usando exponencial ou nas identidades \operatorname{cosh}^{2}-\operatorname{sinh}^{2}=1 e \cos^{2}-\sin^{2}=\cos 2x), posso explicar esses pontos com exemplos rápidos.

Resposta

|\cos(x+iy)|^{2}-|\sin(x+iy)|^{2}=\cos 2x

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