7-Estabeleça a relação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
reais, vale a igualdade
Informações dadas / contexto imediato:
- A variável complexa é
com . - Devemos trabalhar com as funções trigonométricas extendidas ao argumento complexo e com o módulo de números complexos.
Passo 2
Vamos escrever
em forma que exponha sua parte real e imaginária. Para isso usamos a definição exponencial:
Calcule
e
. Note que
logo
e
Agora some e divida por
:
Agrupando termos reais e imaginários e usando
e
, obtemos
Passo 3
De forma análoga, use a definição
Usando os mesmos
e
do passo anterior:
Separando partes real e imaginária e simplificando com
e
, obtemos
Passo 4
Recorde: se um número complexo é
com
, então o módulo ao quadrado é
Aplique isso às expressões obtidas:
- Para
, a parte real é e a parte imaginária é . Então
- Para
, a parte real é e a parte imaginária é . Então
Passo 5
Subtraia as duas expressões:
Agrupe termos com
e
:
Passo 6
Use duas identidades fundamentais:
- Para hiperbólicas:
. (Isto segue de e , porque ao calcular as diferenças os termos exponenciais se cancelam deixando .) - Para trigonométricas de ângulo duplo:
.
Aplicando-as à expressão do passo anterior obtemos
Passo 7
Portanto a identidade está demonstrada para todo
. Boa! Se você ficar com dúvida em algum passo (por exemplo em como separar parte real/imaginar usando exponencial ou nas identidades
e
), posso explicar esses pontos com exemplos rápidos.