[10] - Seja
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para provar que
.
Informações relevantes fornecidas:
- O conjunto
é o intervalo aberto , ou seja, todo satisfaz . - A pergunta é: mostrar que o supremo (menor majorante) de
é .
Passo 2
Vou explicar o que significa provar que
, porque entender as definições é metade da prova.
Definições importantes:
- Dizemos que um número
é um majorante (ou limite superior, ou upper bound) de se, para todo , vale . Em símbolos: é majorante se . - O supremo de
, denotado , é o menor dos majorantes: isto é, é um número tal que -
é majorante de (ou seja, ); - para qualquer outro majorante
de tem-se .
-
Outra forma útil, equivalente à condição 2, é:
-
se e somente se é majorante e para todo existe tal que . Em palavras: não existe majorante estritamente menor que ; dado qualquer número menor que (distante por um ), encontra-se um elemento de acima dele.
Para provar
basta portanto fazer duas coisas:
A) Mostrar que é um majorante de
.
B) Mostrar que nenhum número menor que é majorante de
; ou equivalentemente, dado
existe
com
.
A) Mostrar que
B) Mostrar que nenhum número menor que
Passo 3
Provar que
é um majorante de
.
Tomemos um elemento arbitrário
. Pelo fato de
sabemos que
. Em particular
(mais fortemente,
). Como essa desigualdade vale para todo
, concluímos que
é um majorante de
.
Passo 4
Provar que nenhum número menor que
é majorante de
. Ou seja, seja
tal que
; precisamos produzir um
com
.
Constrói-se explicitamente um candidato usando uma média aritmética e um fallback: defina
Vou mostrar que esse
satisfaz
e
.
-
. Ambos os números que compõem o máximo são menores que : -
porque (já que ), logo . -
.
Assim o máximo entre eles também é. Portanto .
-
-
. Ambos e são mas especificamente , logo o máximo é . Assim .
Portanto
.
-
. Há dois casos implícitos pela definição do máximo: - Se
então porque nesse caso necessariamente , o que implica ou ; em qualquer caso . - Se
então porque . Assim .
- Se
Em ambos os subcasos concluímos
. Logo, para qualquer
encontramos
com
. Isso mostra que
não é majorante de
.
(Observação alternativa mais direta: se
basta tomar
e então
; se
basta tomar
. A construção com o máximo engloba esses dois casos de forma única.)
Passo 5
Juntando tudo:
-
é majorante de (Passo 3). - Nenhum número menor que
é majorante de (Passo 4).
Pelas definições, isso significa que
é o menor majorante de
, ou seja,
.
Força aí — já era,
.