[10] - Seja X=(0,1). Prove que \sup (X)=1.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto X=(0,1) e pede para provar que \sup(X)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • O conjunto X é o intervalo aberto (0,1), ou seja, todo x\in X satisfaz 0<x<1.
  • A pergunta é: mostrar que o supremo (menor majorante) de X é 1.

Passo 2

Vou explicar o que significa provar que \sup(X)=1, porque entender as definições é metade da prova.
Definições importantes:
  • Dizemos que um número M é um majorante (ou limite superior, ou upper bound) de X se, para todo x\in X, vale x\le M. Em símbolos: M é majorante se \forall x\in X,\; x\le M.
  • O supremo de X, denotado \sup(X), é o menor dos majorantes: isto é, \sup(X) é um número s tal que
    1. s é majorante de X (ou seja, \forall x\in X,\; x\le s);
    2. para qualquer outro majorante M de X tem-se s\le M.
Outra forma útil, equivalente à condição 2, é:
  • s=\sup(X) se e somente se s é majorante e para todo \varepsilon>0 existe x\in X tal que x>s-\varepsilon. Em palavras: não existe majorante estritamente menor que s; dado qualquer número menor que s (distante por um \varepsilon>0), encontra-se um elemento de X acima dele.
Para provar \sup(X)=1 basta portanto fazer duas coisas:
A) Mostrar que 1 é um majorante de X.
B) Mostrar que nenhum número menor que 1 é majorante de X; ou equivalentemente, dado u<1 existe x\in X com x>u.

Passo 3

Provar que 1 é um majorante de X.
Tomemos um elemento arbitrário x\in X. Pelo fato de X=(0,1) sabemos que 0<x<1. Em particular x\le 1 (mais fortemente, x<1). Como essa desigualdade vale para todo x\in X, concluímos que 1 é um majorante de X.

Passo 4

Provar que nenhum número menor que 1 é majorante de X. Ou seja, seja u tal que u<1; precisamos produzir um x\in X com x>u.
Constrói-se explicitamente um candidato usando uma média aritmética e um fallback: defina
x=\max\!\left(\frac{u+1}{2},\;\frac{1}{2}\right).
Vou mostrar que esse x satisfaz x\in(0,1) e x>u.
  1. x<1. Ambos os números que compõem o máximo são menores que 1:
    • \dfrac{u+1}{2}<1 porque u+1<2 (já que u<1), logo \dfrac{u+1}{2}<1.
    • \dfrac{1}{2}<1.
      Assim o máximo entre eles também é <1. Portanto x<1.
  2. x>0. Ambos \dfrac{u+1}{2} e \dfrac{1}{2} são \ge -\infty mas especificamente \dfrac{1}{2}>0, logo o máximo é \ge\dfrac{1}{2}>0. Assim x>0.
Portanto x\in(0,1).
  1. x>u. Há dois casos implícitos pela definição do máximo:
    • Se x=\dfrac{1}{2} então x=\dfrac{1}{2}>u porque nesse caso necessariamente \dfrac{u+1}{2}\le\dfrac{1}{2}, o que implica u\le -1 ou u<\tfrac{1}{2}; em qualquer caso \dfrac{1}{2}>u.
    • Se x=\dfrac{u+1}{2} então x-\!u=\frac{u+1}{2}-u=\frac{1-u}{2}>0porque u<1. Assim x>u.
Em ambos os subcasos concluímos x>u. Logo, para qualquer u<1 encontramos x\in X com x>u. Isso mostra que u não é majorante de X.
(Observação alternativa mais direta: se 0\le u<1 basta tomar x=(u+1)/2\in(0,1) e então x>u; se u<0 basta tomar x=1/2. A construção com o máximo engloba esses dois casos de forma única.)

Passo 5

Juntando tudo:
  • 1 é majorante de X (Passo 3).
  • Nenhum número menor que 1 é majorante de X (Passo 4).
Pelas definições, isso significa que 1 é o menor majorante de X, ou seja, \sup(X)=1.
Força aí — já era, \sup(X)=1.

Resposta

\sup(X)=1

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