Determine as funções inversas, e quando existirem, calcule as suas derivadas e desenhe os seus gráficos:
f_{4}(x)=\tan x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f_{4}(x)=\tan x com domínio \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
O que se pede:
  • Determinar as funções inversas (quando existirem) — ou seja, achar f_{4}^{-1} em cada parte do domínio onde f_{4} é invertível.
  • Quando existirem, calcular as derivadas das inversas.
  • Desenhar (descrever) os gráficos dessas inversas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função dada é a tangente com o domínio formado por duas partes separadas por \frac{\pi}{2}.
  • É preciso tratar cada ramo (cada intervalo) separadamente, porque a tangente tem descontinuidade em \frac{\pi}{2}.

Passo 2

Verificar invertibilidade em cada intervalo (condição necessária: ser injetora numa componente conectada do domínio).
Propriedade útil (que vou usar): se uma função g tem derivada contínua e g'(x)>0 em um intervalo, então g é estritamente crescente aí e, portanto, injetora (tem inversa naquele intervalo).
Aplicando a isso: a derivada da tangente é
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x>0
em todos os pontos onde \tan x está definida. Logo \tan x é estritamente crescente em cada um dos intervalos \left[0,\frac{\pi}{2}\right) e \left(\frac{\pi}{2},\pi\right). Portanto existe inversa em cada um desses intervalos (tomando-os separadamente).

Passo 3

Determinar as imagens (ranges) de \tan x em cada intervalo — isso diz qual é o domínio da inversa.
  1. Em x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right):
  • Em x=0 tem-se \tan 0=0.
  • Quando x\to\frac{\pi}{2}^- tem-se \tan x\to+\infty.
    Portanto a imagem é
\mathrm{Im}\big(\tan|_{[0,\frac{\pi}{2})}\big)=[0,+\infty).
  1. Em x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right):
  • Quando x\to\frac{\pi}{2}^+ tem-se \tan x\to -\infty.
  • Quando x\to\pi^- tem-se \tan x\to 0^- (não atinge 0 porque x=\pi não está incluído).
    Portanto a imagem é
\mathrm{Im}\big(\tan|_{(\frac{\pi}{2},\pi)}\big)=(-\infty,0).
Conclusão: cada ramo da tangente é bijetivo entre os respectivos intervalos do domínio e essas imagens; assim as inversas existem com domínios indicados.

Passo 4

Escrever explicitamente as inversas.
Conhecimento usado: as soluções de \tan x=y são x=\arctan y + k\pi, k\in\mathbb{Z}, onde \arctan y é o arco-tangente principal com valores em \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).
  • Para o ramo x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right) a imagem é y\in[0,+\infty). A solução que pertence a \left[0,\frac{\pi}{2}\right) é exatamente a solução principal \arctan y (pois para y\ge 0 tem-se \arctan y\in[0,\frac{\pi}{2})). Logo, para y\in[0,+\infty),
f_{4}^{-1}(y)=\arctan y,\qquad \text{com }f_{4}^{-1}:[0,+\infty)\to\left[0,\frac{\pi}{2}\right).
  • Para o ramo x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right) a imagem é y\in(-\infty,0). As soluções gerais são x=\arctan y+k\pi. Para obter uma solução em \left(\frac{\pi}{2},\pi\right) tomamos k=1. Assim, para y\in(-\infty,0),
f_{4}^{-1}(y)=\arctan y + \pi,\qquad \text{com }f_{4}^{-1}:(-\infty,0)\to\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).
(Resumo: há duas funções inversas, cada uma válida em seu domínio: \arctan y em [0,\infty) e \arctan y+\pi em (-\infty,0).)

Passo 5

Calcular as derivadas das inversas (fórmula da derivada da inversa).
Fórmula útil: se f é diferenciável e f'(x)\neq 0, então a derivada da inversa f^{-1} no ponto y=f(x) é
\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{f'(x)}.
No nosso caso f'(x)=\operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x. Como y=\tan x segue que 1+\tan^{2}x=1+y^{2}. Portanto, independentemente do ramo, a derivada da inversa em termos de y é
\big(f_{4}^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{1+y^{2}}.
Aplicando aos dois ramos:
  • Para y\in[0,+\infty) (inversa \arctan y):
\frac{d}{dy}\big(\arctan y\big)=\frac{1}{1+y^{2}}.
  • Para y\in(-\infty,0) (inversa \arctan y+\pi):
\frac{d}{dy}\big(\arctan y+\pi\big)=\frac{1}{1+y^{2}} \quad (\text{pois }\pi \text{ é constante}).é
Observação: a derivada é positiva em todo domínio, coerente com o fato de as inversas serem estritamente crescentes.

Passo 6

Descrição (gráfica) intuitiva das inversas — como desenhar rapidamente na prova.
  • A função y\mapsto\arctan y em y\in[0,+\infty) é a metade direita da curva arco-tangente: cresce de (0,0) para a assíntota horizontal x=\frac{\pi}{2} quando y\to+\infty. Ponto marcador fácil: \arctan 1=\frac{\pi}{4}.
  • A função y\mapsto\arctan y+\pi em y\in(-\infty,0) tem a mesma forma da arco-tangente, só que deslocada para cima de \pi. Para y\to -\infty ela tende a \frac{\pi}{2} (limite inferior do intervalo), e para y\to 0^- tende a \pi (limite superior do intervalo). Ponto marcador: \arctan(-1)+\pi=-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3\pi}{4}.
Se for desenhar: trace a curva \arctan y para y\ge 0 entre (0,0) e a assíntota x=\frac{\pi}{2}; trace a mesma forma deslocada para cima por \pi para y<0.

Passo 7

Pequenos exemplos numéricos (ajudam a fixar e checar):
  • Para x=\frac{\pi}{6}\in[0,\frac{\pi}{2}) tem-se \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}. Inversa: \arctan\!\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}. A derivada da inversa em y=\tfrac{1}{\sqrt{3}} é \dfrac{1}{1+(\tfrac{1}{\sqrt{3}})^{2}}=\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{3}}=\dfrac{3}{4}.
  • Para x=\tfrac{3\pi}{4}\in(\tfrac{\pi}{2},\pi) tem-se \tan\tfrac{3\pi}{4}=-1. Inversa: \arctan(-1)+\pi=\tfrac{3\pi}{4}. A derivada da inversa em y=-1 é \dfrac{1}{1+1}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

f_{4}^{-1}(y)=\arctan y,\quad \text{domínio }y\in[0,+\infty),\\ \text{imagem }\left[0,\frac{\pi}{2}\right)í \quad e \quad \big(f_{4}^{-1}\big)'(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}} para y\in[0,+\infty).
f_{4}^{-1}(y)=\arctan y+\pi,\quad \text{domínio }y\in(-\infty,0),\\ \text{imagem }\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)í \quad e \quad \big(f_{4}^{-1}\big)'(y)=\dfrac{1}{1+y^{2}} para y\in(-\infty,0).

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