Determine as funções inversas, e quando existirem, calcule as suas derivadas e desenhe os seus gráficos:
Passo 1
O enunciado dá a função
com domínio
.
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar as funções inversas (quando existirem) — ou seja, achar
em cada parte do domínio onde é invertível. - Quando existirem, calcular as derivadas das inversas.
- Desenhar (descrever) os gráficos dessas inversas.
Informações relevantes fornecidas:
- A função dada é a tangente com o domínio formado por duas partes separadas por
. - É preciso tratar cada ramo (cada intervalo) separadamente, porque a tangente tem descontinuidade em
.
Passo 2
Verificar invertibilidade em cada intervalo (condição necessária: ser injetora numa componente conectada do domínio).
Propriedade útil (que vou usar): se uma função
tem derivada contínua e
em um intervalo, então
é estritamente crescente aí e, portanto, injetora (tem inversa naquele intervalo).
Aplicando a isso: a derivada da tangente é
em todos os pontos onde
está definida. Logo
é estritamente crescente em cada um dos intervalos
e
. Portanto existe inversa em cada um desses intervalos (tomando-os separadamente).
Passo 3
Determinar as imagens (ranges) de
em cada intervalo — isso diz qual é o domínio da inversa.
- Em
:
- Em
tem-se . - Quando
tem-se .
Portanto a imagem é
- Em
:
- Quando
tem-se . - Quando
tem-se (não atinge porque não está incluído).
Portanto a imagem é
Conclusão: cada ramo da tangente é bijetivo entre os respectivos intervalos do domínio e essas imagens; assim as inversas existem com domínios indicados.
Passo 4
Escrever explicitamente as inversas.
Conhecimento usado: as soluções de
são
,
, onde
é o arco-tangente principal com valores em
.
- Para o ramo
a imagem é . A solução que pertence a é exatamente a solução principal (pois para tem-se ). Logo, para ,
- Para o ramo
a imagem é . As soluções gerais são . Para obter uma solução em tomamos . Assim, para ,
(Resumo: há duas funções inversas, cada uma válida em seu domínio:
em
e
em
.)
Passo 5
Calcular as derivadas das inversas (fórmula da derivada da inversa).
Fórmula útil: se
é diferenciável e
, então a derivada da inversa
no ponto
é
No nosso caso
. Como
segue que
. Portanto, independentemente do ramo, a derivada da inversa em termos de
é
Aplicando aos dois ramos:
- Para
(inversa ):
- Para
(inversa ):
Observação: a derivada é positiva em todo domínio, coerente com o fato de as inversas serem estritamente crescentes.
Passo 6
Descrição (gráfica) intuitiva das inversas — como desenhar rapidamente na prova.
- A função
em é a metade direita da curva arco-tangente: cresce de para a assíntota horizontal quando . Ponto marcador fácil: . - A função
em tem a mesma forma da arco-tangente, só que deslocada para cima de . Para ela tende a (limite inferior do intervalo), e para tende a (limite superior do intervalo). Ponto marcador: .
Se for desenhar: trace a curva
para
entre
e a assíntota
; trace a mesma forma deslocada para cima por
para
.
Passo 7
Pequenos exemplos numéricos (ajudam a fixar e checar):
- Para
tem-se . Inversa: . A derivada da inversa em é . - Para
tem-se . Inversa: . A derivada da inversa em é .