10.9 Usando a expansão em frações parciais e o fato de que
a^{n} u[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1-a z^{-1}}, \quad|z|>a,
encontre a transformada z inversa de
X(z)=\frac{1-\frac{1}{3} z^{-1}}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1+2 z^{-1}\right)}, \quad|z|>2 .

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa z de X(z) e fornece a região de convergência. Informações dadas:
  • Transformada a inverter:
X(z)=\frac{1-\frac{1}{3} z^{-1}}{\left(1-z^{-1}\right)\left(1+2 z^{-1}\right)}
  • Região de convergência:
|z|>2.
  • Dados explícitos extraídos da expressão:
    • Numerador: 1-\dfrac{1}{3}z^{-1}.
    • Denominador fatorado: (1-z^{-1})(1+2z^{-1}).
    • Polos em z=1 e em z=-2.
O que se pede: encontrar x[n] tal que X(z) é a sua transformada z, respeitando a ROC dada.

Passo 2

Vamos decompor X(z) em frações parciais na variável z^{-1}. Assumimos uma decomposição da forma
X(z)=\frac{A}{1-z^{-1}}+\frac{B}{1+2z^{-1}}.
Multiplicando os dois lados pelo denominador (1-z^{-1})(1+2z^{-1}) obtemos a identidade
A(1+2z^{-1})+B(1-z^{-1})=1-\tfrac{1}{3}z^{-1}.
Agrupando termos constantes e termos em z^{-1} dá:
(A+B) + (2A - B)z^{-1} = 1 - \tfrac{1}{3}z^{-1}.
Igualando coeficientes obtemos o sistema linear
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 2A - B = -\tfrac{1}{3}. \end{cases}]

Passo 3

Resolva o sistema para A e B. Somando as duas equações:
(A+B)+(2A-B)=1-\tfrac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad 3A=\tfrac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{2}{9}.
Então
B=1-A=1-\tfrac{2}{9}=\tfrac{7}{9}.
Portanto a decomposição é
X(z)=\frac{2/9}{1-z^{-1}}+\frac{7/9}{1+2z^{-1}}.

Passo 4

Agora use a tabela direta dada no enunciado: para qualquer a,
a^{n}u[n] \stackrel{z}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1-a z^{-1}},\quad |z|>|a|.
Reconheça os dois termos:
  • \dfrac{2/9}{1-z^{-1}} corresponde a \dfrac{2}{9}\cdot 1^{n}u[n]=\dfrac{2}{9}u[n] com polo em a=1 (ROC exigiria |z|>1 no termo isolado).
  • \dfrac{7/9}{1+2z^{-1}}=\dfrac{7/9}{1-(-2)z^{-1}} corresponde a \dfrac{7}{9}(-2)^{n}u[n] com polo em a=-2 (ROC exigiria |z|>2 no termo isolado).
A ROC global informada é |z|>2, ou seja, o ROC é exterior ao pólo de maior módulo |-2|=2. Isso indica que a sequência é causal (direita) e que ambas as correspondências acima são válidas quando se toma a ROC comum |z|>2.

Passo 5

Portanto a transformada inversa é a soma das duas componentes:
x[n]=\frac{2}{9}u[n]+\frac{7}{9}(-2)^{n}u[n].
Como verificação rápida: x[0]=\dfrac{2}{9}+\dfrac{7}{9}=1, que coincide com \lim_{z\to\infty}X(z)=1, consistindo com a expansão em potências de z^{-1}.

Resposta

x[n]=\frac{2}{9}u[n]+\frac{7}{9}(-2)^{n}u[n]

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