10.9 Usando a expansão em frações parciais e o fato de que
encontre a transformada
inversa de
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa
de
e fornece a região de convergência. Informações dadas:
- Transformada a inverter:
- Região de convergência:
- Dados explícitos extraídos da expressão:
- Numerador:
. - Denominador fatorado:
. - Polos em
e em .
- Numerador:
O que se pede: encontrar
tal que
é a sua transformada
, respeitando a ROC dada.
Passo 2
Vamos decompor
em frações parciais na variável
. Assumimos uma decomposição da forma
Multiplicando os dois lados pelo denominador
obtemos a identidade
Agrupando termos constantes e termos em
dá:
Igualando coeficientes obtemos o sistema linear
Passo 3
Resolva o sistema para
e
. Somando as duas equações:
Então
Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora use a tabela direta dada no enunciado: para qualquer
,
Reconheça os dois termos:
-
corresponde a com polo em (ROC exigiria no termo isolado). -
corresponde a com polo em (ROC exigiria no termo isolado).
A ROC global informada é
, ou seja, o ROC é exterior ao pólo de maior módulo
. Isso indica que a sequência é causal (direita) e que ambas as correspondências acima são válidas quando se toma a ROC comum
.
Passo 5
Portanto a transformada inversa é a soma das duas componentes:
Como verificação rápida:
, que coincide com
, consistindo com a expansão em potências de
.