10 Sejam F e f, funções tais que: F(x, y)=f(xy, yx). Mostre que x Fx+y Fy=0.

Passo 1

O enunciado define duas funções, F e f, relacionadas por
F(x,y) ;=; fl(u,vr),
onde
u = xy, v = yx
O conteúdo da matéria é Regra da Cadeia para derivadas parciais. Vamos usar essa regra para calcular partial F/partial x e partial F/partial y e mostrar que
x,Fx + y,Fy ;=; 0

Passo 2

Definimos
u(x,y) = xy, v(x,y) = yx
Calculamos as derivadas parciais de u e v:
partial upartial x = 1y, partial upartial y = -xy^2,
partial vpartial x = -yx^2, partial vpartial y = 1x

Passo 3

Aplicando a Regra da Cadeia para F(x,y)=fl(u(x,y),v(x,y)r), obtemos
Fx = fu,partial upartial x + fv,partial vpartial x = fu,1y - fv,yx^2,
Fy = fu,partial upartial y + fv,partial vpartial y = -,fu,xy^2 + fv,1x

Passo 4

Multiplicamos por x e por y respectivamente e somamos:
x,Fx = x!(fu,1y - fv,yx^2) = x,fuy - y,fvx,
y,Fy = y!(-fu,xy^2 + fv,1x) = -x,fuy + y,fvx

Passo 5

Somando as duas expressões:
x,Fx + y,Fy = l(tfracx,fuy - tfracy,fvxr) + l(-tfracx,fuy + tfracy,fvxr) = 0

Resposta

x,Fx + y,Fy = 0

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