(2,0) Seja f uma função contínua, par em R tal que para todo o número real x
integral1^-x f(-t) d t=x ln x+integralx^1 f(-t) cos t d t
Encontre uma fórmula explícita para a função f.
Por paridade e trocando os extremos de integração
integral1^-x f(t) d t=x ln x-integral1^x f(t) cos t d t
Derivando cada lado com respeito a x
-f(-x)=1 cdot ln x+x cdot 1x-f(x) cos x (TFC1 e regra da cadeia)
Por paridade novamente
-f(x) & =ln x+1-f(x) cos x (cos x-1) f(x) & =ln x+1 f(x) & =ln x+1cos x-1

Passo 1

O enunciado diz que f:RtoR é contínua e par, e para todo x>0 satisfaz
integral1^-xf(-t),dt ;=; xln x ;+;integralx^1f(-t)cos t,dt
Queremos obter uma fórmula fechada para f(x). Usaremos a paridade de f, a troca de limites de integração e, em seguida, derivaremos a identidade pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Como f é par, f(-t)=f(t). Logo,
integral1^-xf(-t),dt = integral1^-xf(t),dt = -integral-x^1f(t),dt,
e
integralx^1f(-t)cos t,dt = integralx^1f(t)cos t,dt = -integral1^xf(t)cos t,dt
Substituindo na equação original, fica
-integral-x^1f(t),dt ;=; xln x ;-;integral1^xf(t)cos t,dt

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x e usando o TFC e a regra da cadeia, temos
-ddxl(!integral-x^1f(t),dtr) = -f(-x), ddx(xln x)=ln x+1, -ddxl(!integral1^xf(t)cos t,dtr) = -f(x)cos x
Portanto a derivada da identidade é
-,f(-x) ;=; ln x +1 ;-; f(x)cos x

Passo 4

Usando de novo a paridade ( f(-x)=f(x)), obtemos
-,f(x) = ln x +1 - f(x)cos x ;Longrightarrow; (cos x -1),f(x)=ln x+1 ;Longrightarrow; f(x)=ln x+1cos x-1

Resposta

f(x) = ln x + 1cos x - 1

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