Seja
uma função contínua, par em
tal que para todo o número real
Encontre uma fórmula explícita para a função
.
Por paridade e trocando os extremos de integração
Derivando cada lado com respeito a
Por paridade novamente
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e par, e para todo
satisfaz
Queremos obter uma fórmula fechada para
. Usaremos a paridade de
, a troca de limites de integração e, em seguida, derivaremos a identidade pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Como
é par,
. Logo,
e
Substituindo na equação original, fica
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação a
e usando o TFC e a regra da cadeia, temos
Portanto a derivada da identidade é
Passo 4
Usando de novo a paridade (
), obtemos