5.2A Verifique se a função dada é ou não solução da e d o indicada:
y=ln x ; x y^prime prime+y^prime=0, x>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função ,y=ln x (definida para x>0) satisfaz a equação diferencial
x,y'' + y' = 0
O que vamos precisar é calcular a primeira e a segunda derivadas de y e depois substituir na equação.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada:
y = ln x Longrightarrow y' = ddx(ln x) = 1x

Passo 3

Agora a segunda derivada:
y' = 1x Longrightarrow y'' = ddxl(1xr) = -1x^2

Passo 4

Substituímos y' e y'' em x,y''+y':
x,y'' + y' = x!l(-1x^2r) + 1x = -xx^2 + 1x = -1x + 1x = 0
Vemos que a combinação dá exatamente zero, como exigido pela equação.

Resposta

A função ,y=ln x satisfaz a equação diferencial x,y''+y'=0 para x>0.

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