Seja
uma função contínua em
tal que para todo o número real
Encontre uma fórmula explícita para a função
.
Note que
Derivando cada lado com respeito a
Passo 1
O enunciado nos dá uma função contínua
tal que, para todo real
,
Queremos encontrar uma fórmula explícita para
. Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) na forma que permite diferenciar integrais com limites dependentes de
, além da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro reescrevemos o segundo termo invertendo os limites da integral:
Logo a igualdade fica
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a
.
- Pela TFC,
- A derivada de
é . - Para
, use a regra da cadeia: se , então
Combinando, obtemos
Passo 4
Isolando
no lado esquerdo:
Logo, para
tal que
,