(2,0) Seja f uma função contínua em R tal que para todo o número real x
integral1^x f(t) d t=x e^x+integral-x^1 e^t f(-t) d t
Encontre uma fórmula explícita para a função f.
Note que
integral1^x f(t) d t=x e^x-integral1^-x e^t f(-t) d t
Derivando cada lado com respeito a x
f(x) & =e^x+x e^x+e^-x f(x) ( TFC1 e regra da cadeia ) f(x)(1-e^-x) & =e^x(1+x) f(x) & =e^x(1+x)1-e^-x

Passo 1

O enunciado nos dá uma função contínua fcolonRtoR tal que, para todo real x,
integral1^x f(t),dt ;=; x e^x ;+;integral-x^1 e^tf(-t),dt
Queremos encontrar uma fórmula explícita para f(x). Para isso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) na forma que permite diferenciar integrais com limites dependentes de x, além da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro reescrevemos o segundo termo invertendo os limites da integral:
integral-x^1 e^tf(-t),dt =;-integral1^-x e^tf(-t),dt
Logo a igualdade fica
integral1^x f(t),dt =;x e^x ;-;integral1^-x e^tf(-t),dt

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x.
  • Pela TFC,
    ddx!l[integral1^x f(t),dtr]=f(x)
  • A derivada de x e^x é e^x+x e^x=e^x(1+x).
  • Para -integral1^-x e^tf(-t),dt, use a regra da cadeia: se g(x)=-x, então ddx!l[-integral1^g(x)!e^tf(-t),dtr] =-,l[e^,g(x)fl(-g(x)r)r]cdot g'(x) =-,l[e^-xf(x)r]cdot(-1) =e^-xf(x)
Combinando, obtemos
f(x)=e^x(1+x)+e^-xf(x)

Passo 4

Isolando f(x) no lado esquerdo:
f(x)-e^-xf(x)=e^x(1+x) Longrightarrow f(x)l(1-e^-xr)=e^x(1+x)
Logo, para x tal que 1-e^-xneq0,
f(x) =e^x(1+x)1-e^-x

Resposta

f(x)=e^x(1+x)1-e^-x

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