10- Em um sistema fechado, uma partícula de massa
e velocidade
colide elasticamente com um alvo de massa
inicialmete em repouso.
(a) Escreva a lei de conservação do momento linear
(b) A energia se conserva? Se sim, escreva a lei de conservação da energia cinética
(c) Mostre que
(d) Escreva uma expressão para u2 em função de v1 e u1
(e) Encontre a razão u1/v1
(f) Mostre que a fração de energia cinética perdida pela partícula 1, é:
onde
é a massa reduzida
e M a massa total do sistema.
(a) Escreva a lei de conservação do momento linear
(b) A energia se conserva? Se sim, escreva a lei de conservação da energia cinética
(c) Mostre que
(d) Escreva uma expressão para u2 em função de v1 e u1
(e) Encontre a razão u1/v1
(f) Mostre que a fração de energia cinética perdida pela partícula 1, é:
Passo 1
O enunciado dá um sistema fechado com duas partículas: a partícula 1 tem massa
e velocidade inicial
; a partícula 2 tem massa
e está inicialmente em repouso (ou seja, sua velocidade inicial é
). Após a colisão elástica, as velocidades finais são denotadas por
(para a partícula 1) e
(para a partícula 2).
As perguntas do enunciado são:
(a) Escrever a lei de conservação do momento linear.
(b) Dizer se a energia se conserva e, se sim, escrever a conservação da energia cinética.
(c) Mostrar que .
(d) Escrever uma expressão para em função de
e
.
(e) Encontrar a razão .
(f) Mostrar que a fração de energia cinética perdida por 1 é , onde
e
.
(a) Escrever a lei de conservação do momento linear.
(b) Dizer se a energia se conserva e, se sim, escrever a conservação da energia cinética.
(c) Mostrar que
(d) Escrever uma expressão para
(e) Encontrar a razão
(f) Mostrar que a fração de energia cinética perdida por 1 é
Todas as informações relevantes estão acima:
(inicial),
(inicial), colisão elástica, resultados
(finais). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conservação do momento linear (resposta à letra (a)). Em um sistema fechado (sem forças externas horizontais), o momento linear total antes e depois da colisão é o mesmo. Escrevemos a igualdade:
Simplificando temos a lei de conservação do momento linear:
Passo 3
Conservação da energia cinética (letra (b)). Em colisão elástica a energia cinética total do sistema se conserva. Escrevemos:
Ou, multiplicando por
para ficar mais simples:
Passo 4
Mostrar a identidade pedida em (c). Definimos as energias cinéticas da partícula 1 antes e depois:
A fração de energia perdida por 1 é
Cancelando
no numerador e denominador obtemos
que é exatamente o que era pedido em (c).
Passo 5
Expressão de
em função de
e
(letra (d)). Partimos da conservação do momento que já escrevemos:
Isolando
obtemos
Essa é a expressão pedida:
em função de
e
.
Passo 6
Encontrar
(letra (e)). Vamos usar as duas equações de conservação para eliminar
e obter uma equação só em
.
Primeiro substituímos a expressão de
do Passo 5 na equação de conservação de energia (do Passo 3). A equação de energia é
Substituindo
temos
Simplificando o segundo termo:
Multiplicando tudo por
para eliminar frações:
Expandindo o quadrado e reorganizando os termos (faço isso devagar para não se perder):
Agrupando termos com
de um lado e os que têm
do outro:
Fatorando
quando conveniente e simplificando, note que
e
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Agora organizamos como uma equação quadrática em
:
Dividimos tudo por
e definimos
. Assim:
Usamos a fórmula quadrática para
:
Calculamos o discriminante com cuidado:
Note que
. Portanto o parêntese vira
. Assim o discriminante é
e sua raiz é
.
Logo as duas raízes são
As duas soluções são
(corresponde ao caso sem interação, não físico para colisão) e
A solução física para colisão é
Passo 7
Encontrar
explícito usando o resultado de
. Usamos a fórmula do Passo 5:
Substituindo
obtemos
Portanto
Assim a velocidade final da partícula 2 é
Passo 8
Mostrar a expressão pedida em (f). Da parte (c) temos a fração de energia perdida por 1:
Substituímos a razão obtida em (e):
. Então
Logo
Calculamos o numerador:
Portanto
Agora usamos a definição da massa reduzida
e da massa total
. Observando que
concluímos
Resposta
(a)
(b) Sim.
(c)
(d)
(e)
(f)
(b) Sim.
(c)
(d)
(e)
(f)