10- Em um sistema fechado, uma partícula de massa m_{1} e velocidade v_{1} colide elasticamente com um alvo de massa \mathrm{m}_{2} inicialmete em repouso.
(a) Escreva a lei de conservação do momento linear
(b) A energia se conserva? Se sim, escreva a lei de conservação da energia cinética
(c) Mostre que \frac{T_{1 i-} T_{1 f}}{T_{1 i}}=1-\frac{u_{1}^{2}}{v_{1}^{2}}
(d) Escreva uma expressão para u2 em função de v1 e u1
(e) Encontre a razão u1/v1
(f) Mostre que a fração de energia cinética perdida pela partícula 1, é:
\frac{T_{1 i}-T_{1 f}}{T_{1 i}}=\frac{4 \mu}{M}
onde \mu é a massa reduzida \left(\mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right) e M a massa total do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema fechado com duas partículas: a partícula 1 tem massa m_1 e velocidade inicial v_1; a partícula 2 tem massa m_2 e está inicialmente em repouso (ou seja, sua velocidade inicial é 0). Após a colisão elástica, as velocidades finais são denotadas por u_1 (para a partícula 1) e u_2 (para a partícula 2).
As perguntas do enunciado são:
(a) Escrever a lei de conservação do momento linear.
(b) Dizer se a energia se conserva e, se sim, escrever a conservação da energia cinética.
(c) Mostrar que \displaystyle\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=1-\frac{u_{1}^{2}}{v_{1}^{2}}.
(d) Escrever uma expressão para u_2 em função de v_1 e u_1.
(e) Encontrar a razão u_1/v_1.
(f) Mostrar que a fração de energia cinética perdida por 1 é \displaystyle\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=\frac{4\mu}{M}, onde \displaystyle\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} e M=m_1+m_2.
Todas as informações relevantes estão acima: m_1, m_2, v_1 (inicial), v_2=0 (inicial), colisão elástica, resultados u_1,u_2 (finais). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conservação do momento linear (resposta à letra (a)). Em um sistema fechado (sem forças externas horizontais), o momento linear total antes e depois da colisão é o mesmo. Escrevemos a igualdade:
m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 u_1 + m_2 u_2.
Simplificando temos a lei de conservação do momento linear:
m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2.

Passo 3

Conservação da energia cinética (letra (b)). Em colisão elástica a energia cinética total do sistema se conserva. Escrevemos:
\frac{1}{2}m_1 v_1^{2} + \frac{1}{2}m_2\cdot 0^{2} = \frac{1}{2}m_1 u_1^{2} + \frac{1}{2}m_2 u_2^{2}.
Ou, multiplicando por 2 para ficar mais simples:
m_1 v_1^{2} = m_1 u_1^{2} + m_2 u_2^{2}.

Passo 4

Mostrar a identidade pedida em (c). Definimos as energias cinéticas da partícula 1 antes e depois:
T_{1i}=\frac{1}{2}m_1 v_1^{2},\qquad T_{1f}=\frac{1}{2}m_1 u_1^{2}.
A fração de energia perdida por 1 é
\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=\frac{\frac{1}{2}m_1 v_1^{2}-\frac{1}{2}m_1 u_1^{2}}{\frac{1}{2}m_1 v_1^{2}}.
Cancelando \frac{1}{2}m_1 no numerador e denominador obtemos
\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=1-\frac{u_{1}^{2}}{v_{1}^{2}},
que é exatamente o que era pedido em (c).

Passo 5

Expressão de u_2 em função de v_1 e u_1 (letra (d)). Partimos da conservação do momento que já escrevemos:
m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2.
Isolando u_2 obtemos
u_2=\frac{m_1(v_1-u_1)}{m_2}.
Essa é a expressão pedida: u_2 em função de v_1 e u_1.

Passo 6

Encontrar u_1/v_1 (letra (e)). Vamos usar as duas equações de conservação para eliminar u_2 e obter uma equação só em u_1.
Primeiro substituímos a expressão de u_2 do Passo 5 na equação de conservação de energia (do Passo 3). A equação de energia é
m_1 v_1^{2} = m_1 u_1^{2} + m_2 u_2^{2}.
Substituindo u_2=\dfrac{m_1(v_1-u_1)}{m_2} temos
m_1 v_1^{2} = m_1 u_1^{2} + m_2\left(\frac{m_1^{2}(v_1-u_1)^{2}}{m_2^{2}}\right).
Simplificando o segundo termo:
m_1 v_1^{2} = m_1 u_1^{2} + \frac{m_1^{2}}{m_2}(v_1-u_1)^{2}.
Multiplicando tudo por m_2 para eliminar frações:
m_1 m_2 v_1^{2} = m_1 m_2 u_1^{2} + m_1^{2}(v_1-u_1)^{2}.
Expandindo o quadrado e reorganizando os termos (faço isso devagar para não se perder):
m_1 m_2 v_1^{2} = m_1 m_2 u_1^{2} + m_1^{2}v_1^{2} - 2m_1^{2}v_1 u_1 + m_1^{2}u_1^{2}.
Agrupando termos com v_1^{2} de um lado e os que têm u_1 do outro:
(m_1 m_2 - m_1^{2})v_1^{2} = (m_1 m_2 + m_1^{2})u_1^{2} - 2m_1^{2}v_1 u_1.
Fatorando m_1 quando conveniente e simplificando, note que m_1 m_2 - m_1^{2} = m_1(m_2-m_1) e m_1 m_2 + m_1^{2} = m_1(m_1+m_2). Dividindo ambos os lados por m_1 (assumindo m_1\neq0) obtemos
(m_2-m_1)v_1^{2} = (m_1+m_2)u_1^{2} - 2m_1 v_1 u_1.
Agora organizamos como uma equação quadrática em u_1:
(m_1+m_2)u_1^{2} - 2m_1 v_1 u_1 - (m_2-m_1)v_1^{2}=0.
Dividimos tudo por v_1^{2} e definimos x=\dfrac{u_1}{v_1}. Assim:
(m_1+m_2)x^{2} - 2m_1 x - (m_2-m_1)=0.
Usamos a fórmula quadrática para x:
x=\frac{2m_1\pm\sqrt{4m_1^{2}+4(m_1+m_2)(m_2-m_1)}}{2(m_1+m_2)}.
Calculamos o discriminante com cuidado:
4m_1^{2}+4(m_1+m_2)(m_2-m_1)=4\big(m_1^{2}+(m_1+m_2)(m_2-m_1)\big).
Note que (m_1+m_2)(m_2-m_1)=m_2^{2}-m_1^{2}. Portanto o parêntese vira m_1^{2}+m_2^{2}-m_1^{2}=m_2^{2}. Assim o discriminante é 4m_2^{2} e sua raiz é 2m_2.
Logo as duas raízes são
x=\frac{2m_1\pm 2m_2}{2(m_1+m_2)}=\frac{m_1\pm m_2}{m_1+m_2}.
As duas soluções são x=1 (corresponde ao caso sem interação, não físico para colisão) e
x=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}.
A solução física para colisão é
\boxed{\displaystyle\frac{u_1}{v_1}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}.}

Passo 7

Encontrar u_2 explícito usando o resultado de u_1. Usamos a fórmula do Passo 5:
u_2=\frac{m_1(v_1-u_1)}{m_2}.
Substituindo u_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1 obtemos
v_1-u_1=v_1\left(1-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)=v_1\left(\frac{m_1+m_2-m_1+m_2}{m_1+m_2}\right)=v_1\left(\frac{2m_2}{m_1+m_2}\right).
Portanto
u_2=\frac{m_1}{m_2}\cdot v_1\cdot\frac{2m_2}{m_1+m_2}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1.
Assim a velocidade final da partícula 2 é
\boxed{u_2=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}\;v_1.}

Passo 8

Mostrar a expressão pedida em (f). Da parte (c) temos a fração de energia perdida por 1:
\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=1-\frac{u_1^{2}}{v_1^{2}}.
Substituímos a razão obtida em (e): \dfrac{u_1}{v_1}=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}. Então
\frac{u_1^{2}}{v_1^{2}}=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right)^{2}=\frac{(m_1-m_2)^{2}}{(m_1+m_2)^{2}}.
Logo
\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=1-\frac{(m_1-m_2)^{2}}{(m_1+m_2)^{2}}=\frac{(m_1+m_2)^{2}-(m_1-m_2)^{2}}{(m_1+m_2)^{2}}.
Calculamos o numerador:
(m_1+m_2)^{2}-(m_1-m_2)^{2}=4m_1 m_2.
Portanto
\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=\frac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^{2}}.
Agora usamos a definição da massa reduzida \displaystyle\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} e da massa total M=m_1+m_2. Observando que
\frac{4m_1 m_2}{(m_1+m_2)^{2}}=\frac{4}{m_1+m_2}\cdot\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}=\frac{4\mu}{M},
concluímos
\boxed{\displaystyle\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=\frac{4\mu}{M}.}

Resposta

(a) m_1 v_1 = m_1 u_1 + m_2 u_2
(b) Sim. \displaystyle \frac{1}{2}m_1 v_1^{2} = \frac{1}{2}m_1 u_1^{2} + \frac{1}{2}m_2 u_2^{2}
(c) \displaystyle\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=1-\frac{u_{1}^{2}}{v_{1}^{2}}
(d) \displaystyle u_2=\frac{m_1(v_1-u_1)}{m_2}
(e) \displaystyle\frac{u_1}{v_1}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}
(f) \displaystyle\frac{T_{1i}-T_{1f}}{T_{1i}}=\frac{4\mu}{M}

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