Calcule \vec{v} \times \vec{v} e mostre que o resultado é nulo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \vec{v}\times\vec{v} e mostrar que o resultado é nulo.
Informações dadas: \vec{v} é um vetor qualquer em \mathbb{R}^3. Não foram dados componentes numéricos, então trataremos \vec{v} de forma geral como \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), onde v_1,v_2,v_3 são números reais quaisquer.

Passo 2

Vou primeiro lembrar a fórmula componente a componente do produto vetorial (cross product). Seja \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3). O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é o vetor cujas componentes são dadas por:
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Explicando cada símbolo: a_i e b_i são as componentes nas direções x,y,z dos vetores \vec{a} e \vec{b}. Cada componente do produto vetorial é uma diferença de produtos das componentes dos vetores.

Passo 3

Agora aplico essa fórmula ao caso em que \vec{a}=\vec{b}=\vec{v}=(v_1,v_2,v_3). Substituindo na fórmula, a primeira componente de \vec{v}\times\vec{v} é
v_2 v_3 - v_3 v_2.
Como a multiplicação de números reais é comutativa, v_2 v_3 = v_3 v_2. Portanto essa diferença é zero:
v_2 v_3 - v_3 v_2 = 0.

Passo 4

A segunda componente é
v_3 v_1 - v_1 v_3,
e pelo mesmo raciocínio v_3 v_1 = v_1 v_3, então
v_3 v_1 - v_1 v_3 = 0.

Passo 5

A terceira componente é
v_1 v_2 - v_2 v_1,
e novamente v_1 v_2 = v_2 v_1, portanto
v_1 v_2 - v_2 v_1 = 0.

Passo 6

Reunindo as três componentes, obtemos
\vec{v}\times\vec{v}=(0,0,0),
ou seja, o vetor nulo. Aqui fiz passo a passo mostrando que cada componente é zero por causa da comutatividade da multiplicação real.

Passo 7

Para reforçar a intuição, apresento duas explicações alternativas (curtas) que também justificam o resultado:
  1. Determinante: o produto vetorial pode ser calculado pela "determinante com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}":
\vec{v}\times\vec{v}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\[4pt] v_1&v_2&v_3\\[4pt] v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}.
Como as duas linhas com as componentes de \vec{v} são iguais, o determinante é zero, logo o produto é o vetor nulo.
  1. Geometria: a magnitude do produto vetorial satisfaz
\|\vec{v}\times\vec{v}\|=\|\vec{v}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre os vetores. Aqui \theta=0 (um vetor com ele mesmo), então \sin\theta=0 e a magnitude é zero, portanto o vetor é o vetor nulo.]

Passo 8

Um pequeno exemplo numérico para ver na prática: tome \vec{v}=(1,2,3). Usando a fórmula,
\vec{v}\times\vec{v}=(2\cdot3-3\cdot2,\;3\cdot1-1\cdot3,\;1\cdot2-2\cdot1)=(0,0,0).
Funciona para qualquer vetor; esse exemplo só confirma.

Resposta

\vec{v}\times\vec{v}=\vec{0}

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