Um automóvel com velocidade v=60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} tem pneus com D=60 \mathrm{~cm} de diâmetro. Suponha que os pneus não escorreguem na pista e todos tem a mesma velocidade angular
a) Qual é o valor da velocidade angular \omega dos pneus em rpm.
b) O pneu dá n=10 voltas completas para o carro parar. Qual é o valor da intensidade da desaceleração angular \alpha em rotações / \min ^{2} ?
R.: \alpha=88419 rotações / min ^{2}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • Velocidade linear do automóvel: v=60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Diâmetro do pneu: D=60\\ \mathrm{cm}.
  • Os pneus não escorregam e todos têm a mesma velocidade angular.
  • O carro dá n=10 voltas completas do pneu até parar (essa informação só serve para a parte b).
Perguntas:
a) Qual é o valor da velocidade angular \omega dos pneus em \mathrm{rpm} (rotações por minuto)?
b) Sabendo que o pneu dá n=10 voltas completas até o carro parar, qual é o valor da intensidade da desaceleração angular \alpha em rotações por \min^2 ?

Passo 2

Conexão entre velocidade linear e velocidade angular (ideia-chave).
  • A velocidade linear v da borda do pneu é relacionada à velocidade angular \omega pela fórmula
v = (\text{revoluções por minuto}) \times (\text{comprimento da volta}) .çõ
  • O comprimento da volta (circunferência) do pneu é C=\pi D. Se usarmos unidades de \mathrm{cm} e \mathrm{min}, então podemos obter diretamente \omega em \mathrm{rpm} por
\omega_{\text{(rpm)}}=\frac{v_{\text{(cm/min)}}}{C_{\text{(cm)}}}.
Essa forma evita conversões desnecessárias entre radianos e revoluções.

Passo 3

Calcular números intermediários e \omega.
  • Primeiro calcule a circunferência do pneu em centímetros:
C=\pi D=\pi\cdot 60\\ \mathrm{cm}=60\pi\\ \mathrm{cm}.
  • Converter a velocidade v para \mathrm{cm/min}. Como 60\\ \mathrm{km/h} = 1\\ \mathrm{km/min} e 1\\ \mathrm{km}=100000\\ \mathrm{cm}, temos
v=1\\ \mathrm{km/min}=100000\\ \mathrm{cm/min}.
  • Agora calcular \omega em \mathrm{rpm}:
\omega=\frac{v}{C}=\frac{100000}{60\pi}\\ \mathrm{rpm}.
  • Fazer a divisão numérica (mostrando os passos): 100000/60=1666{,}666\ldots. Dividindo por \pi,
\omega \approx \frac{1666{,}666\ldots}{3{,}14159265}\approx 530{,}516\dots\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Apresentar o resultado da parte (a) e depois preparar a parte (b) com a física necessária.
  • Resposta parcial (a): a velocidade angular inicial do pneu é \omega_0\approx 530{,}52\\ \mathrm{rpm} (arredondando para duas casas decimais).
Para a parte (b) precisamos de uma equação do movimento rotacional com aceleração angular constante. A fórmula análoga à cinemática retilínea é
\omega_f^2=\omega_0^2+2\alpha\theta,
onde:
  • \omega_0 é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rotações}/\minçõ se usarmos rotações como unidade de ângulo),
  • \omega_f é a velocidade angular final,
  • \alpha é a aceleração angular (em \mathrm{rotações}/\min^2çõ),
  • \theta é o deslocamento angular (em rotações).
Observação didática rápida: essa fórmula é derivada da versão em radianos, mas, se medirmos \omega em rotações por minuto e \theta em rotações, os fatores 2\pi se cancelam e a forma acima vale diretamente com unidades “rotações”.

Passo 5

Aplicar a fórmula para encontrar \alpha. Condições do problema:
  • O carro (pneu) para, logo \omega_f=0.
  • O deslocamento angular é \theta=n=10 rotações (o número de voltas até parar).
    Então da fórmula
0=\omega_0^2+2\alpha\theta \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\frac{\omega_0^2}{2\theta}.
Substituindo \omega_0\approx 530{,}516\dots\\ \mathrm{rpm} e \theta=10,
\alpha=-\frac{(530{,}516\dots)^2}{2\cdot 10}=-\frac{(530{,}516\dots)^2}{20}.
Calcule a potência:
(530{,}516\dots)^2\approx 281447{,}03.
Dividindo por 20:
\alpha\approx -14072{,}3516\\ \text{rotações}/\min^2 .çõ

Passo 6

Interpretação do sinal e resposta final da parte (b).
  • O sinal negativo indica que se trata de uma desaceleração (a velocidade angular diminui).
  • A intensidade da desaceleração (valor absoluto) é
|\alpha|\approx 14072{,}35\\ \text{rotações}/\min^2.çõ
Um comentário de amigo para te animar: deu bastante conta de conversões e fórmula, mas a ideia central é sempre a mesma — ligar velocidade linear à rotação via a circunferência e depois usar a cinemática rotacional. Vai dar certo na prova!

Resposta

a)\\ \omega \approx 530{,}52\\ \mathrm{rpm}
b)\\ |\alpha| \approx 14072{,}35\\ \text{rotações}/\min^2çõ

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