Um sistema com uma entrada e uma saída possui a seguinte representação em espaço de estados:
dotx & =[cc 0 & 1 -C & -A ] x+[l 0 1 ] u y & =[ll B C & 0 ] x
Encontre a função de transferência desse sistema G(s)=Y(s) / U(s).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um sistema representado no espaço de estados e pede para encontrarmos a função de transferência $ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de modelos de espaço de estados e como converter essa representação para a função de transferência usando álgebra linear e transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um sistema no espaço de estados é geralmente representado por duas equações:
dotx = A x + B u
y = C x + D u
onde:
  • $ \mathbf{x} $ é o vetor de estados,
  • $ u $ é a entrada,
  • $ y $ é a saída,
  • $ A $, $ B $, $ C $, e $ D $ são matrizes que definem o sistema.
No nosso caso, as matrizes são dadas por:
x

Passo 3

A próxima etapa é encontrar a função de transferência $ G(s) $. A fórmula geral para a função de transferência a partir de um modelo de espaço de estados é:
G(s)
onde $ s $ é a variável da transformada de Laplace e $ I $ é a matriz identidade.

Passo 4

Vamos calcular $ (sI - A) $. Substituindo a matriz $ A $:
(sI - A)
Agora, vamos encontrar a inversa dessa matriz $ (sI - A)^{-1} $.

Passo 5

Para inverter uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
a & b c & d ^-1 = 1ad - bc d & -b -c & a
Aplicando isso ao $ sI - A $:
sI - A
O determinante $ det(sI - A) = s^2 + A s + C $.

Passo 6

Agora, multiplicamos $ (sI - A)^{-1} $ pela matriz $ B $:
(sI - A)^-1

Passo 7

Em seguida, multiplicamos o resultado por $ C $:
C

Passo 8

Finalmente, adicionamos $ D $ (que é zero) para obter a função de transferência:
D

Resposta

A função de transferência do sistema é:
G(s) = B + C ss^2 + A s + C

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