Um sistema com uma entrada e uma saída possui a seguinte representação em espaço de estados:
Encontre a função de transferência desse sistema
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um sistema representado no espaço de estados e pede para encontrarmos a função de transferência $ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de modelos de espaço de estados e como converter essa representação para a função de transferência usando álgebra linear e transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um sistema no espaço de estados é geralmente representado por duas equações:
onde:
- $ \mathbf{x} $ é o vetor de estados,
- $ u $ é a entrada,
- $ y $ é a saída,
- $ A $, $ B $, $ C $, e $ D $ são matrizes que definem o sistema.
No nosso caso, as matrizes são dadas por:
Passo 3
A próxima etapa é encontrar a função de transferência $ G(s) $. A fórmula geral para a função de transferência a partir de um modelo de espaço de estados é:
onde $ s $ é a variável da transformada de Laplace e $ I $ é a matriz identidade.
Passo 4
Vamos calcular $ (sI - A) $. Substituindo a matriz $ A $:
Agora, vamos encontrar a inversa dessa matriz $ (sI - A)^{-1} $.
Passo 5
Para inverter uma matriz 2x2, usamos a fórmula:
Aplicando isso ao $ sI - A $:
O determinante $ det(sI - A) = s^2 + A s + C $.
Passo 6
Agora, multiplicamos $ (sI - A)^{-1} $ pela matriz $ B $:
Passo 7
Em seguida, multiplicamos o resultado por $ C $:
Passo 8
Finalmente, adicionamos $ D $ (que é zero) para obter a função de transferência:
Resposta
A função de transferência do sistema é: