7-10 Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar d w / d t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos uma forma adequada da regra da cadeia para determinar $ \frac{dw}{dt} $. A regra da cadeia é uma ferramenta essencial no cálculo para derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como $ w $ depende de outras variáveis que, por sua vez, dependem do tempo $ t $.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que $ w $ é uma função de uma variável intermediária, digamos $ x $, que por sua vez depende do tempo $ t $. Então, podemos expressar isso como:
w
x
Isso significa que $ w $ depende de $ x $, e $ x $ depende de $ t $. Para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, precisamos relacionar essas dependências.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é o produto das derivadas das funções individuais. Matemáticamente, isso fica:
dwdt = dwdx cdot dxdt
Aqui, $ \frac{dw}{dx} $ é a derivada de $ w $ em relação a $ x $, e $ \frac{dx}{dt} $ é a derivada de $ x $ em relação a $ t $.

Passo 4

Vamos detalhar cada parte:
  1. Calcular $ \frac{dw}{dx} $: Isso depende de como $ w $ está definido em termos de $ x $. Por exemplo, se $ w = x^2 $, então $ \frac{dw}{dx} = 2x $.
  2. Calcular $ \frac{dx}{dt} $: Isso também depende de como $ x $ está definido em termos de $ t $. Por exemplo, se $ x = 3t + 5 $, então $ \frac{dx}{dt} = 3 $.

Passo 5

Finalmente, multiplicamos as duas derivadas para obter $ \frac{dw}{dt} $:
dwdt
Usando os exemplos que demos:
dwdt = dwdx cdot dxdt
Se quisermos expressar tudo em termos de $ t $, substituímos $ x = 3t + 5 $:
dwdt = 2x cdot 3 = 6x

Resposta

Portanto, $ \frac{dw}{dt} = 18t + 30 $.

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