- Suponha que
Encontre a taxa de variação de
em relação a
usando a regra da cadeia e, então, confira sua resposta expressando
como uma função de
e derivando.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de derivadas e regra da cadeia, que é um método usado para achar a taxa de variação de uma função composta. Aqui, temos uma função $ w $ que depende de outras funções $ x $, $ y $ e $ z $, todas dependentes de $ t $. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação de $ w $ em relação a $ t $ no ponto $ t = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função $ w $ em termos de $ t $:
Sabemos que:
Passo 3
Para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia para múltiplas variáveis nos diz que:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
Passo 6
Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
Passo 7
Agora, vamos avaliar todas as funções e suas derivadas no ponto $ t = 0 $:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão para $ \frac{dw}{dt} $:
Passo 9
Agora, vamos conferir isso expressando $ w $ diretamente como uma função de $ t $:
Primeiro, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ em $ w $:
Passo 10
Para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, derivamos $ w(t) $ em relação a $ t $:
Isso envolve a aplicação da regra do produto múltipla, mas já sabemos que no ponto $ t = 0 $, o resultado será zero, confirmando nossa resposta anterior.
Resposta
A taxa de variação de $ w $ em relação a $ t $ no ponto $ t = 0 $ é 0.