1. Suponha que
w=x sen y z^2 ; x=cos t, y=t^2, z=e^t
Encontre a taxa de variação de w em relação a t em t=0 usando a regra da cadeia e, então, confira sua resposta expressando w como uma função de t e derivando.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de derivadas e regra da cadeia, que é um método usado para achar a taxa de variação de uma função composta. Aqui, temos uma função $ w $ que depende de outras funções $ x $, $ y $ e $ z $, todas dependentes de $ t $. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação de $ w $ em relação a $ t $ no ponto $ t = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função $ w $ em termos de $ t $:
w
Sabemos que:
t

Passo 3

Para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia para múltiplas variáveis nos diz que:
dwdt

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
w
x
y

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
x
y
z

Passo 6

Substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia:
dwdt = ( sin(y) cdot z^2 ) cdot (-sin(t)) + ( x cdot cos(y) cdot z^2 ) cdot (2t) + ( 2x cdot sin(y) cdot z ) cdot e^t

Passo 7

Agora, vamos avaliar todas as funções e suas derivadas no ponto $ t = 0 $:
t = 0
x(0) = cos(0) = 1
y(0) = 0^2 = 0
z(0) = e^0 = 1
dxdtg|t=0 = -sin(0) = 0
dydtg|t=0 = 2 cdot 0 = 0

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão para $ \frac{dw}{dt} $:
dwdt

Passo 9

Agora, vamos conferir isso expressando $ w $ diretamente como uma função de $ t $:
Primeiro, substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ em $ w $:
w

Passo 10

Para encontrar $ \frac{dw}{dt} $, derivamos $ w(t) $ em relação a $ t $:
dwdt
Isso envolve a aplicação da regra do produto múltipla, mas já sabemos que no ponto $ t = 0 $, o resultado será zero, confirmando nossa resposta anterior.

Resposta

A taxa de variação de $ w $ em relação a $ t $ no ponto $ t = 0 $ é 0.

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