Utilize as fórmulas trigonométricas abaixo para calcular as primitivas das funções dadas a seguir:
sen(a) sen(b) & =12(cos (a-b)-cos (a+b)) sen(a) cos (b) & =12(sen(a-b)-sen(a+b)) cos (a) cos (b) & =12(cos (a-b)+cos (a+b))
integral sen(5 x) cos x d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral sin(5x)cos(x),dx usando as fórmulas trigonométricas fornecidas. O conteúdo é integração de produto de funções trigonométricas e vamos usar a identidade para sin(a)cos(b).

Passo 2

Pela fórmula sin(a)cos(b)=tfrac12l(sin(a-b)-sin(a+b)r), ao substituir a=5x e b=x a gente obtém:
sin(5x)cos(x)=12l(sin(5x-x)-sin(5x+x)r)=12l(sin(4x)-sin(6x)r)

Passo 3

Com isso, a integral original vira
integral sin(5x)cos(x),dx = 12integrall(sin(4x)-sin(6x)r),dx
Agora é só integrar termo a termo.

Passo 4

Lembrando que integral sin(kx),dx = -1kcos(kx)+C, temos:
  • integral sin(4x),dx = -tfrac14cos(4x)
  • integral sin(6x),dx = -tfrac16cos(6x).

Passo 5

Substituindo de volta e distribuindo o tfrac12, chegamos a
12l(-tfrac14cos(4x) + tfrac16cos(6x)r) = -tfrac18cos(4x) + tfrac112cos(6x)

Resposta

-\tfrac18\cos(4x) + \tfrac1{12}\cos(6x) + C

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