Resolva:
integral cos (3 x)sen^1 / 3(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos(3x)sen^1/3(3x),dx. O conteúdo é integração por substituição em funções trigonométricas com expoente fracionário, e vamos usar que a derivada de sen(3x) é 3cos(3x).

Passo 2

Fazemos a substituição u = sen(3x). Dessa forma, derivando ambos os lados, temos:
du = 3cos(3x),dx Longrightarrow cos(3x),dx = du3

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral cos(3x)sen^1/3(3x),dx = integral 1u^1/3 cdot du3 = 13integral u^-1/3,du

Passo 4

Agora integramos u^-1/3. Lembrando que integral u^m,du = u^m+1m+1 + C para mneq -1, temos:
13integral u^-1/3,du = 13cdot u^2/32/3 + C = 12u^2/3 + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = sen(3x). Assim, a antiderivada é:
12sen^2/3(3x) + C

Resposta

tfrac12sen^2/3(3x) + C

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