10- (Valor: 0,5) De quantos modos podemos dividir 16 pessoas:
e) em dois grupos de 4 e quatro grupos de 2?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de particionar 16 pessoas em dois grupos de 4 e quatro grupos de 2, todos os grupos sendo não rotulados (ou seja, só importa quem vai junto, e não “grupo 1”, “grupo 2” etc.). Para resolver usamos a ideia de particionamento em blocos de tamanhos fixos.

Passo 2

Uma forma intuitiva é montar os grupos em sequência: primeiro formamos os dois blocos de 4, depois os quatro blocos de 2, e em seguida corrigimos a supercontagem por causa da ordem das escolhas.
  1. Escolhemos 4 pessoas das 16: \displaystyle \binom{16}{4}.
  2. Depois escolhemos 4 pessoas das 12 restantes: \displaystyle \binom{12}{4}.
    Como esses dois blocos de 4 são idênticos (não há “primeiro” e “segundo”), dividimos por 2!.

Passo 3

Agora formamos os quatro blocos de 2 nas 8 pessoas restantes: \displaystyle \binom{8}{2}\times\binom{6}{2}\times\binom{4}{2}\times\binom{2}{2}.
E como os quatro blocos de 2 são todos idênticos, dividimos por 4!.

Passo 4

Juntando tudo, o total de particionamentos é
\frac{\binom{16}{4}\,\binom{12}{4}}{2!}\;\times\;\frac{\binom{8}{2}\,\binom{6}{2}\,\binom{4}{2}\,\binom{2}{2}}{4!}.
Convertendo os binomiais em fatoriais, obtemos
\frac{16!}{4!\,12!}\;\frac{12!}{4!\,8!}\;\frac{8!}{2!\,6!}\;\frac{6!}{2!\,4!}\;\frac{4!}{2!\,2!}\;\frac{2!}{2!\,0!} \;\times\;\frac{1}{2!\,4!} \;=\; \frac{16!}{(4!)^2\,(2!)^4\;2!\;4!}.

Resposta

\frac{16!}{(4!)^2\,(2!)^4\;2!\;4!}.

Exercícios relacionados