Responda as alíneas a seguir:
a) Encontre todos os autovalores de A.
b) Para cada autovalor encontrado, determine um autovetor.
c) Construa a matriz P cujas colunas sejam os autovetores encontrados.
d) Calcule o produto P^{-1} A P.
e) O que se pode dizer sobre a matriz A ?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}
e pede, em partes:
a) encontrar todos os autovalores de A;
b) para cada autovalor, determinar um autovetor;
c) construir a matriz P cujas colunas sejam os autovetores encontrados;
d) calcular o produto P^{-1}AP;
e) dizer o que se pode afirmar sobre a matriz A.
Informações relevantes fornecidas: os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=2, a_{21}=3, a_{22}=2. A resolução segue essas perguntas na ordem.]
Passo 2
Vamos achar os autovalores. Lembre que um número \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que Av=\lambda v. Isso é equivalente a existir solução não-trivial de
(A-\lambda I)v=0,
ou seja, \lambda deve anular o polinómio característico \det(A-\lambda I)=0.
ou seja, a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores na ordem escolhida.]
Passo 8
Interpretação final (o que isso nos diz sobre A):
A matriz A tem dois autovalores reais distintos \,4 e -1, e possui dois autovetores linearmente independentes; por isso A é diagonalizável sobre \mathbb{R}: existe inversível P tal que P^{-1}AP é diagonal.
Como \det(A)=\lambda_1\lambda_2=4\cdot(-1)=-4\neq 0, A é invertível.
A traça de A é \operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2=4+(-1)=3, que confere com 1+2.
Em palavras simples: A é semelhante à matriz diagonal \operatorname{diag}(4,-1), o que facilita elevar A a potências ou calcular funções de A.
Resposta
a) \lambda_1=4,\\ \lambda_2=-1.
b) Para \lambda_1=4, um autovetor é \displaystyle\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}. Para \lambda_2=-1, um autovetor é \displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
c) \displaystyle P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
d) \displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
e) A é diagonalizável (sobre \mathbb{R}), invertível (\det A=-4), e semelhante à diagonal \operatorname{diag}(4,-1).]