(10.0 valores) Considere
A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 2 \end{array}\right)
Responda as alíneas a seguir:
a) Encontre todos os autovalores de A.
b) Para cada autovalor encontrado, determine um autovetor.
c) Construa a matriz P cujas colunas sejam os autovetores encontrados.
d) Calcule o produto P^{-1} A P.
e) O que se pode dizer sobre a matriz A ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}
e pede, em partes:
a) encontrar todos os autovalores de A;
b) para cada autovalor, determinar um autovetor;
c) construir a matriz P cujas colunas sejam os autovetores encontrados;
d) calcular o produto P^{-1}AP;
e) dizer o que se pode afirmar sobre a matriz A.
Informações relevantes fornecidas: os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=2, a_{21}=3, a_{22}=2. A resolução segue essas perguntas na ordem.]

Passo 2

Vamos achar os autovalores. Lembre que um número \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que Av=\lambda v. Isso é equivalente a existir solução não-trivial de
(A-\lambda I)v=0,
ou seja, \lambda deve anular o polinómio característico \det(A-\lambda I)=0.
Para A construímos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 3 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(2-\lambda)-3\cdot 2.
Agora expandimos e simplificamos:
(1-\lambda)(2-\lambda)=2-3\lambda+\lambda^2,
portanto
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-3\lambda+2-6=\lambda^2-3\lambda-4.
Igualando a zero obtemos o polinómio característico
\lambda^2-3\lambda-4=0.
Usamos a fórmula quadrática \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} para a=1, b=-3, c=-4, ou simplesmente reconhecemos fatoração:
\lambda^2-3\lambda-4=(\lambda-4)(\lambda+1).
Logo os autovalores são
\lambda_1=4,\qquad \lambda_2=-1.]

Passo 3

Agora, para cada autovalor, determinamos um autovetor não nulo resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Primeiro \lambda_1=4. Calculamos
A-4I=\begin{pmatrix}1-4 & 2 \\[4pt] 3 & 2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}.
Queremos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} tal que
\begin{pmatrix}-3 & 2 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
As equações são -3x+2y=0 e 3x-2y=0 (a segunda é a negativa da primeira, portanto dependente). Da primeira temos 2y=3x, ou
y=\tfrac{3}{2}x.
Para obter um autovetor inteiro simples, escolhemos x=2, então y=3. Um autovetor associado a \lambda_1=4 é
v_1=\begin{pmatrix}2\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Observação: qualquer múltiplo escalar de v_1 também é autovetor; escolhemos uma opção conveniente.]

Passo 4

Agora \lambda_2=-1. Calculamos
A-(-1)I=A+I=\begin{pmatrix}1+1 & 2 \\[4pt] 3 & 2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}.
Procuramos v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix} com
\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
As equações são 2x+2y=0 e 3x+3y=0 (a segunda é múltipla da primeira). Da primeira vem x+y=0, ou
y=-x.
Escolhendo x=1 obtemos y=-1. Um autovetor associado a \lambda_2=-1 é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construímos a matriz P cujas colunas são os autovetores v_1 e v_2 na mesma ordem dos autovalores escolhidos ( \lambda_1=4,\\ \lambda_2=-1). Assim
P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Antes de inverter P, verificamos que suas colunas são linearmente independentes: o determinante de P é
\det(P)=2\cdot(-1)-1\cdot 3=-2-3=-5\neq 0,
logo P é invertível e as colunas formam uma base (boa notícia: os autovetores formam base).]

Passo 6

Calculamos P^{-1}. Para uma matriz 2\times2 P=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} tem-se
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix} com ad-bc=-5, obtemos
P^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] -3 & 2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1/5 & 1/5 \\[4pt] 3/5 & -2/5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora calculamos P^{-1}AP. Método prático: primeiro calcule AP, depois multiplique por P^{-1}.
Calculamos AP coluna a coluna usando que A v_i=\lambda_i v_i:
A v_1 = A\begin{pmatrix}2\\[4pt] 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\[4pt] 12\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}2\\[4pt] 3\end{pmatrix}, \qquad A v_2 = A\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}1\\[4pt] -1\end{pmatrix}.
Então
AP=\begin{pmatrix}8 & -1 \\[4pt] 12 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por P^{-1}:
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1/5 & 1/5 \\[4pt] 3/5 & -2/5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}8 & -1 \\[4pt] 12 & 1\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação por linhas e colunas:
  • Entrada (1,1): (1/5)\cdot 8 + (1/5)\cdot 12 = (8+12)/5 = 20/5 = 4.
  • Entrada (1,2): (1/5)\cdot(-1) + (1/5)\cdot 1 = 0.
  • Entrada (2,1): (3/5)\cdot 8 + (-2/5)\cdot 12 = (24-24)/5 = 0.
  • Entrada (2,2): (3/5)\cdot(-1) + (-2/5)\cdot 1 = (-3-2)/5 = -1.
Portanto
P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},
ou seja, a matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores na ordem escolhida.]

Passo 8

Interpretação final (o que isso nos diz sobre A):
  • A matriz A tem dois autovalores reais distintos \,4 e -1, e possui dois autovetores linearmente independentes; por isso A é diagonalizável sobre \mathbb{R}: existe inversível P tal que P^{-1}AP é diagonal.
  • Como \det(A)=\lambda_1\lambda_2=4\cdot(-1)=-4\neq 0, A é invertível.
  • A traça de A é \operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\lambda_2=4+(-1)=3, que confere com 1+2.
  • Em palavras simples: A é semelhante à matriz diagonal \operatorname{diag}(4,-1), o que facilita elevar A a potências ou calcular funções de A.

Resposta

a) \lambda_1=4,\\ \lambda_2=-1.
b) Para \lambda_1=4, um autovetor é \displaystyle\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}. Para \lambda_2=-1, um autovetor é \displaystyle\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
c) \displaystyle P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
d) \displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
e) A é diagonalizável (sobre \mathbb{R}), invertível ( \det A=-4), e semelhante à diagonal \operatorname{diag}(4,-1).]

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