(3.0 valores) Verifique se o vetor
b=\left[\begin{array}{l} 3 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right]
pertence a
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]\right\}
Se pertencer, escreva b como combinação linear dos geradores.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor
b=\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right]
pertence ao conjunto gerado (span) pelos vetores
u=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad v=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right].
Informações dadas:
b,\;u,\;v \text{ (valores explícitos das coordenadas acima).}í
Perguntas que o enunciado faz:
  1. O vetor b está em \operatorname{span}\{u,v\}?
  2. Se sim, escrever b como combinação linear dos geradores u e v.

Passo 2

O que significa escrever b como combinação linear de u e v? Vou explicar com calma: dizer que b pertence a \operatorname{span}\{u,v\} significa que existem escalares (números) \alpha e \beta tais que
b=\alpha u+\beta v.
Aqui \alpha e \beta são incógnitas que queremos encontrar. Em palavras: \alpha u+\beta v significa multiplicar cada componente de u por \alpha, cada componente de v por \beta e somar os resultados componente a componente.

Passo 3

Agora escrevemos a equação da combinação linear em componentes. Substituindo as coordenadas de b,u,v temos
\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right] = \alpha \left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] + \beta \left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right].
Somando componente a componente isso vira um sistema de três equações (cada linha corresponde a uma coordenada):
\begin{cases} \alpha+\beta=3,\\[4pt] 0\cdot\alpha+\beta=1,\\[4pt] \alpha+0\cdot\beta=2. \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvemos o sistema passo a passo (método direto por inspeção/substituição). Observe as equações individuais:
  • A segunda equação é \beta=1. Isso já nos dá \beta.
  • A terceira equação é \alpha=2. Isso já nos dá \alpha.
    Com \alpha=2 e \beta=1 verifiquemos a primeira equação:
\alpha+\beta = 2+1 = 3,
que é exatamente o lado direito da primeira equação. Portanto as três equações são satisfeitas simultaneamente por \alpha=2 e \beta=1.

Passo 5

Concluímos que existem escalares \alpha e \beta que satisfazem a relação pedida. Logo b pertence a \operatorname{span}\{u,v\} e a decomposição é
b = 2\,u + 1\,v.
Uma verificação rápida (para garantir que não cometemos erro de sinal): calcule o lado direito
2\left[\begin{array}{r}1\\\ 0\\\ 1\end{array}\right] + 1\left[\begin{array}{r}1\\\ 1\\\ 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}2\\\ 0\\\ 2\end{array}\right] + \left[\begin{array}{r}1\\\ 1\\\ 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{r}3\\\ 1\\\ 2\end{array}\right] = b.
Está tudo consistente.

Resposta

\displaystyle b=2\left[\begin{array}{r}1\\\ 0\\\ 1\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{r}1\\\ 1\\\ 0\end{array}\right]

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