Se \overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,1,2), \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,4,1) e \vec{w}=(1,0,1), resolva cada uma das alternativas abaixo:
|\vec{u} \times \vec{v}|

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \overrightarrow{u}=(3,1,2), \overrightarrow{v}=(2,4,1) e \vec{w}=(1,0,1) (observei esses valores no enunciado). A pergunta que vamos responder é calcular o módulo do produto vetorial entre \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}, ou seja: \left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|.

Passo 2

Antes de calcular, vou explicar de forma bem direta o que é o produto vetorial e por que ele interessa aqui. O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} é um vetor que:
  • é perpendicular (ortogonal) aos dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v};
  • tem direção dada pela regra da mão direita;
  • tem módulo igual à área do paralelogramo formado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.
Para calcular numericamente usaremos a fórmula componente a componente (fácil de aplicar em prova).

Passo 3

Se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto vetorial tem componentes dadas por
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Aqui cada u_i e v_i é a i-ésima componente dos vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Essa fórmula vem do determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas na prática decorre memorizar ou aplicar a regra acima.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula aos nossos vetores. Identificamos
\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)=(3,1,2) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,4,1).
Calculamos cada componente:
\begin{aligned} \text{componente }1 &= u_2v_3-u_3v_2 = 1\cdot 1 - 2\cdot 4 = 1-8 = -7,\\[4pt] \text{componente }2 &= u_3v_1-u_1v_3 = 2\cdot 2 - 3\cdot 1 = 4-3 = 1,\\[4pt] \text{componente }3 &= u_1v_2-u_2v_1 = 3\cdot 4 - 1\cdot 2 = 12-2 = 10. \end{aligned}]

Passo 5

Portanto o vetor produto vetorial é
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=(-7,\,1,\,10).

Passo 6

Agora precisamos do módulo desse vetor. O módulo de um vetor (a,b,c) é dado por \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aplicando:
\left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{(-7)^2+1^2+10^2}=\sqrt{49+1+100}=\sqrt{150}.
Simplificando \sqrt{150}: 150=25\cdot6, logo \sqrt{150}=5\sqrt{6}.

Passo 7

Interpretação final rápida (útil na prova): esse valor 5\sqrt{6} é também a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Se a questão pedisse a área do triângulo formado por eles, seria metade disso.

Resposta

5\sqrt{6}

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