Se \overrightarrow{\mathrm{u}}=(3,1,2), \overrightarrow{\mathrm{v}}=(2,4,1) e \vec{w}=(1,0,1), resolva cada uma das alternativas abaixo: |\vec{u} \times \vec{v}|
Passo 1
O enunciado nos dá os vetores \overrightarrow{u}=(3,1,2), \overrightarrow{v}=(2,4,1) e \vec{w}=(1,0,1) (observei esses valores no enunciado). A pergunta que vamos responder é calcular o módulo do produto vetorial entre \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}, ou seja: \left|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\right|.
Passo 2
Antes de calcular, vou explicar de forma bem direta o que é o produto vetorial e por que ele interessa aqui. O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} é um vetor que:
é perpendicular (ortogonal) aos dois vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v};
tem direção dada pela regra da mão direita;
tem módulo igual à área do paralelogramo formado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}.
Para calcular numericamente usaremos a fórmula componente a componente (fácil de aplicar em prova).
Passo 3
Se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3), então o produto vetorial tem componentes dadas por
Aqui cada u_i e v_i é a i-ésima componente dos vetores \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Essa fórmula vem do determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, mas na prática decorre memorizar ou aplicar a regra acima.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula aos nossos vetores. Identificamos \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)=(3,1,2) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)=(2,4,1).
Calculamos cada componente:
Simplificando \sqrt{150}: 150=25\cdot6, logo \sqrt{150}=5\sqrt{6}.
Passo 7
Interpretação final rápida (útil na prova): esse valor 5\sqrt{6} é também a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}. Se a questão pedisse a área do triângulo formado por eles, seria metade disso.